微积分学示例

$f (x) = {(10 x + 4)}^{2} {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}$

解题步骤 1

将 ${(10 x + 4)}^{2}$ 重写为 $(10 x + 4) (10 x + 4)$ 。

$\frac{d}{d x} [(10 x + 4) (10 x + 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(10 x + 4) (10 x + 4)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(10 x (10 x + 4) + 4 (10 x + 4)) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(10 x (10 x) + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x + 4)) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(10 x (10 x) + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [(10 \cdot 10 x \cdot x + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

解题步骤 3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(10 \cdot 10 (x \cdot x) + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

解题步骤 3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(10 \cdot 10 x^{2} + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

解题步骤 3.1.3

将 $10$ 乘以 $10$ 。

$\frac{d}{d x} [(100 x^{2} + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

解题步骤 3.1.4

将 $4$ 乘以 $10$ 。

$\frac{d}{d x} [(100 x^{2} + 40 x + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

解题步骤 3.1.5

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [(100 x^{2} + 40 x + 40 x + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

解题步骤 3.1.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [(100 x^{2} + 40 x + 40 x + 16) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

解题步骤 3.2

将 $40 x$ 和 $40 x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [(100 x^{2} + 80 x + 16) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 100 x^{2} + 80 x + 16$ 且 $g (x) = {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 7)}^{- 3}] + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 3}$ 且 $g (x) = 4 x^{2} - 7$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x^{2} - 7$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 7]) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 7]) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

解题步骤 5.3

使用 $4 x^{2} - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 7]) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $4 x^{2} - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

解题步骤 6.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

解题步骤 6.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (8 x + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

解题步骤 6.5

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (8 x + 0)) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

解题步骤 6.6

化简表达式。

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解题步骤 6.6.1

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (8 x)) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

解题步骤 6.6.2

将 $8$ 乘以 $- 3$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

解题步骤 6.7

根据加法法则， $100 x^{2} + 80 x + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x] + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 6.8

因为 $100$ 对于 $x$ 是常数，所以 $100 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x] + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 6.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (100 (2 x) + \frac{d}{d x} [80 x] + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 6.10

将 $2$ 乘以 $100$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + \frac{d}{d x} [80 x] + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 6.11

因为 $80$ 对于 $x$ 是常数，所以 $80 x$ 对 $x$ 的导数是 $80 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 6.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 6.13

将 $80$ 乘以 $1$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80 + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 6.14

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80 + 0)$

解题步骤 6.15

将 $200 x + 80$ 和 $0$ 相加。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80)$

解题步骤 7.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} x) + \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} (200 x + 80)$

解题步骤 7.3

合并项。

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解题步骤 7.3.1

组合 $- 24$ 和 $\frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (\frac{- 24}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} x) + \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} (200 x + 80)$

解题步骤 7.3.2

将负号移到分数的前面。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- \frac{24}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} x) + \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} (200 x + 80)$

解题步骤 7.3.3

组合 $x$ 和 $\frac{24}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$ 。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- \frac{x \cdot 24}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}) + \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} (200 x + 80)$

解题步骤 7.3.4

将 $24$ 移到 $x$ 的左侧。

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}) + \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} (200 x + 80)$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$- (100 x^{2} + 80 x + 16) \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5

化简每一项。

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解题步骤 7.5.1

运用分配律。

$(- (100 x^{2}) - (80 x) - 1 \cdot 16) \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.2

化简。

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解题步骤 7.5.2.1

将 $100$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 100 x^{2} - (80 x) - 1 \cdot 16) \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.2.2

将 $80$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 100 x^{2} - 80 x - 1 \cdot 16) \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.2.3

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$(- 100 x^{2} - 80 x - 16) \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.3

将 $- 100 x^{2} - 80 x - 16$ 乘以 $\frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$ 。

$\frac{(- 100 x^{2} - 80 x - 16) (24 x)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4

化简分子。

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解题步骤 7.5.4.1

从 $- 100 x^{2} - 80 x - 16$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 7.5.4.1.1

从 $- 100 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{(4 (- 25 x^{2}) - 80 x - 16) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.1.2

从 $- 80 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{(4 (- 25 x^{2}) + 4 (- 20 x) - 16) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.1.3

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{(4 (- 25 x^{2}) + 4 (- 20 x) + 4 (- 4)) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.1.4

从 $4 (- 25 x^{2}) + 4 (- 20 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{(4 (- 25 x^{2} - 20 x) + 4 (- 4)) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.1.5

从 $4 (- 25 x^{2} - 20 x) + 4 (- 4)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 25 x^{2} - 20 x - 4) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.2

分组因式分解。

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解题步骤 7.5.4.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 25 \cdot - 4 = 100$ 并且它们的和为 $b = - 20$ 。

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解题步骤 7.5.4.2.1.1

从 $- 20 x$ 中分解出因数 $- 20$ 。

$\frac{4 (- 25 x^{2} - 20 (x) - 4) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.2.1.2

把 $- 20$ 重写为 $- 10$ 加 $- 10$

$\frac{4 (- 25 x^{2} + (- 10 - 10) x - 4) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.2.1.3

运用分配律。

$\frac{4 (- 25 x^{2} - 10 x - 10 x - 4) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 7.5.4.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{4 ((- 25 x^{2} - 10 x) - 10 x - 4) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{4 (5 x (- 5 x - 2) + 2 (- 5 x - 2)) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- 5 x - 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{4 ((- 5 x - 2) (5 x + 2)) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

$\frac{4 (- 5 x - 2) (5 x + 2) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.3

合并指数。

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解题步骤 7.5.4.3.1

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (5 x) - 2) (5 x + 2) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.3.2

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{4 (- (5 x) - 1 (2)) (5 x + 2) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.3.3

从 $- (5 x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (5 x + 2)) (5 x + 2) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.3.4

将 $- (5 x + 2)$ 重写为 $- 1 (5 x + 2)$ 。

$\frac{4 (- 1 (5 x + 2)) (5 x + 2) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.3.5

对 $5 x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \cdot - 1 ({(5 x + 2)}^{1} (5 x + 2)) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.3.6

对 $5 x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \cdot - 1 ({(5 x + 2)}^{1} {(5 x + 2)}^{1}) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 \cdot - 1 {(5 x + 2)}^{1 + 1} \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 \cdot - 1 {(5 x + 2)}^{2} \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.3.9

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4 {(5 x + 2)}^{2} \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.4.4

将 $24$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.6

将 $200 x + 80$ 乘以 $\frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$ 。

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{200 x + 80}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.7

从 $200 x + 80$ 中分解出因数 $40$ 。

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解题步骤 7.5.7.1

从 $200 x$ 中分解出因数 $40$ 。

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x) + 80}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.7.2

从 $80$ 中分解出因数 $40$ 。

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x) + 40 (2)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.5.7.3

从 $40 (5 x) + 40 (2)$ 中分解出因数 $40$ 。

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

解题步骤 7.6

要将 $\frac{40 (5 x + 2)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4 x^{2} - 7}{4 x^{2} - 7}$ 。

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} - 7}{4 x^{2} - 7}$

解题步骤 7.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${(4 x^{2} - 7)}^{4}$ 的形式。

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解题步骤 7.7.1

将 $\frac{40 (5 x + 2)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$ 乘以 $\frac{4 x^{2} - 7}{4 x^{2} - 7}$ 。

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3} (4 x^{2} - 7)}$

解题步骤 7.7.2

通过指数相加将 ${(4 x^{2} - 7)}^{3}$ 乘以 $4 x^{2} - 7$ 。

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解题步骤 7.7.2.1

将 ${(4 x^{2} - 7)}^{3}$ 乘以 $4 x^{2} - 7$ 。

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解题步骤 7.7.2.1.1

对 $4 x^{2} - 7$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3} {(4 x^{2} - 7)}^{1}}$

解题步骤 7.7.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3 + 1}}$

解题步骤 7.7.2.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.8

在公分母上合并分子。

$\frac{- 96 {(5 x + 2)}^{2} x + 40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.9

化简分子。

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解题步骤 7.9.1

从 $- 96 {(5 x + 2)}^{2} x + 40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)$ 中分解出因数 $8 (5 x + 2)$ 。

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解题步骤 7.9.1.1

从 $- 96 {(5 x + 2)}^{2} x$ 中分解出因数 $8 (5 x + 2)$ 。

$\frac{8 (5 x + 2) (- 12 (5 x + 2) x) + 40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.9.1.2

从 $40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)$ 中分解出因数 $8 (5 x + 2)$ 。

$\frac{8 (5 x + 2) (- 12 (5 x + 2) x) + 8 (5 x + 2) (5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.9.1.3

从 $8 (5 x + 2) (- 12 (5 x + 2) x) + 8 (5 x + 2) (5 (4 x^{2} - 7))$ 中分解出因数 $8 (5 x + 2)$ 。

$\frac{8 (5 x + 2) (- 12 (5 x + 2) x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.9.2

运用分配律。

$\frac{8 (5 x + 2) ((- 12 (5 x) - 12 \cdot 2) x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.9.3

将 $5$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{8 (5 x + 2) ((- 60 x - 12 \cdot 2) x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.9.4

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 (5 x + 2) ((- 60 x - 24) x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.9.5

运用分配律。

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 x \cdot x - 24 x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.9.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.9.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 (x \cdot x) - 24 x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.9.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 x^{2} - 24 x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.9.7

运用分配律。

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 x^{2} - 24 x + 5 (4 x^{2}) + 5 \cdot - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.9.8

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 x^{2} - 24 x + 20 x^{2} + 5 \cdot - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.9.9

将 $5$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 x^{2} - 24 x + 20 x^{2} - 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.9.10

将 $- 60 x^{2}$ 和 $20 x^{2}$ 相加。

$\frac{8 (5 x + 2) (- 40 x^{2} - 24 x - 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.10

从 $- 40 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (5 x + 2) (- (40 x^{2}) - 24 x - 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.11

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (5 x + 2) (- (40 x^{2}) - (24 x) - 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.12

从 $- (40 x^{2}) - (24 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (5 x + 2) (- (40 x^{2} + 24 x) - 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.13

将 $- 35$ 重写为 $- 1 (35)$ 。

$\frac{8 (5 x + 2) (- (40 x^{2} + 24 x) - 1 (35))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.14

从 $- (40 x^{2} + 24 x) - 1 (35)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (5 x + 2) (- (40 x^{2} + 24 x + 35))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.15

将 $- (40 x^{2} + 24 x + 35)$ 重写为 $- 1 (40 x^{2} + 24 x + 35)$ 。

$\frac{8 (5 x + 2) (- 1 (40 x^{2} + 24 x + 35))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.16

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(8 (5 x + 2)) (40 x^{2} + 24 x + 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

解题步骤 7.17

将 $- \frac{(8 (5 x + 2)) (40 x^{2} + 24 x + 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{8 (5 x + 2) (40 x^{2} + 24 x + 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

微积分学 示例

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