微积分学示例

$f (x) = {(2 x - 7)}^{10} \cos (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(2 x - 7)}^{10}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

${(2 x - 7)}^{10} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{10}]$

解题步骤 2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{10}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{10}$ 且 $g (x) = 2 x - 7$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 7$ 。

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 10$ 。

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 u^{9} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

解题步骤 3.3

使用 $2 x - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $2 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

解题步骤 4.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

解题步骤 4.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

解题步骤 4.5

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 + 0))$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} \cdot 2)$

解题步骤 4.6.2

将 $2$ 乘以 $10$ 。

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (20 {(2 x - 7)}^{9})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序项。

$- {(2 x - 7)}^{10} \sin (x) + 20 {(2 x - 7)}^{9} \cos (x)$

解题步骤 5.2

将 $- {(2 x - 7)}^{10} \sin (x) + 20 {(2 x - 7)}^{9} \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$- \sin (x) {(2 x - 7)}^{10} + 20 \cos (x) {(2 x - 7)}^{9}$

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