微积分学示例

$f (x) = \frac{4 x^{5} - 4 x^{2} - 3}{8 x^{2} + 4 x - 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 4 x^{5} - 4 x^{2} - 3$ 且 $g (x) = 8 x^{2} + 4 x - 1$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4 x^{2} - 3] - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{5} - 4 x^{2} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.8

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x + 0) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.9

将 $20 x^{4} - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $8 x^{2} + 4 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.11

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (16 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.14

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (16 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (16 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.16

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (16 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.17

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (16 x + 4 + 0)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.18

将 $16 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简分子。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x)$ 。

$\frac{8 x^{2} (20 x^{4}) + 8 x^{2} (- 8 x) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{8 \cdot 20 x^{2} x^{4} + 8 x^{2} (- 8 x) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{8 \cdot 20 (x^{4} x^{2}) + 8 x^{2} (- 8 x) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 \cdot 20 x^{4 + 2} + 8 x^{2} (- 8 x) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.2.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 \cdot 20 x^{6} + 8 x^{2} (- 8 x) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.3

将 $8$ 乘以 $20$ 。

$\frac{160 x^{6} + 8 x^{2} (- 8 x) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{160 x^{6} + 8 \cdot - 8 x^{2} x + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{160 x^{6} + 8 \cdot - 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{160 x^{6} + 8 \cdot - 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{160 x^{6} + 8 \cdot - 8 x^{1 + 2} + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{160 x^{6} + 8 \cdot - 8 x^{3} + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.6

将 $8$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.7

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 4 \cdot 20 x \cdot x^{4} + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.8.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 4 \cdot 20 (x^{4} x) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.8.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 4 \cdot 20 (x^{4} x^{1}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 4 \cdot 20 x^{4 + 1} + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.8.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 4 \cdot 20 x^{5} + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.9

将 $4$ 乘以 $20$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.10

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} + 4 \cdot - 8 x \cdot x - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.11

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.11.1

移动 $x$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} + 4 \cdot - 8 (x \cdot x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.11.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} + 4 \cdot - 8 x^{2} - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.12

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.13

将 $20$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.14

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.3.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x + (- 4 x^{5} - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x + (- 4 x^{5} + 4 x^{2} - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x + (- 4 x^{5} + 4 x^{2} + 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 4 x^{5} + 4 x^{2} + 3) (16 x + 4)$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 4 x^{5} (16 x) - 4 x^{5} \cdot 4 + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 4 \cdot 16 x^{5} x - 4 x^{5} \cdot 4 + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.2

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.5.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 4 \cdot 16 (x \cdot x^{5}) - 4 x^{5} \cdot 4 + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 3.2.1.5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 4 \cdot 16 (x^{1} x^{5}) - 4 x^{5} \cdot 4 + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 4 \cdot 16 x^{1 + 5} - 4 x^{5} \cdot 4 + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.2.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 4 \cdot 16 x^{6} - 4 x^{5} \cdot 4 + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.3

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 4 x^{5} \cdot 4 + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.4

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.5.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 4 \cdot 16 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.5.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 4 \cdot 16 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.7

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 64 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.8

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 64 x^{3} + 16 x^{2} + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.9

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 64 x^{3} + 16 x^{2} + 48 x + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.10

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 64 x^{3} + 16 x^{2} + 48 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

合并 $160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 64 x^{3} + 16 x^{2} + 48 x + 12$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $- 64 x^{3}$ 和 $64 x^{3}$ 相加。

$\frac{160 x^{6} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 0 + 16 x^{2} + 48 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $160 x^{6} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{160 x^{6} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 16 x^{2} + 48 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

从 $160 x^{6}$ 中减去 $64 x^{6}$ 。

$\frac{96 x^{6} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 16 x^{5} + 16 x^{2} + 48 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

从 $80 x^{5}$ 中减去 $16 x^{5}$ 。

$\frac{96 x^{6} + 64 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x + 16 x^{2} + 48 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

将 $- 32 x^{2}$ 和 $16 x^{2}$ 相加。

$\frac{96 x^{6} + 64 x^{5} - 16 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x + 48 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

将 $8 x$ 和 $48 x$ 相加。

$\frac{96 x^{6} + 64 x^{5} - 16 x^{2} - 20 x^{4} + 56 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$\frac{96 x^{6} + 64 x^{5} - 20 x^{4} - 16 x^{2} + 56 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

从 $96 x^{6} + 64 x^{5} - 20 x^{4} - 16 x^{2} + 56 x + 12$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $96 x^{6}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (24 x^{6}) + 64 x^{5} - 20 x^{4} - 16 x^{2} + 56 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

从 $64 x^{5}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (24 x^{6}) + 4 (16 x^{5}) - 20 x^{4} - 16 x^{2} + 56 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

从 $- 20 x^{4}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (24 x^{6}) + 4 (16 x^{5}) + 4 (- 5 x^{4}) - 16 x^{2} + 56 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4

从 $- 16 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (24 x^{6}) + 4 (16 x^{5}) + 4 (- 5 x^{4}) + 4 (- 4 x^{2}) + 56 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.5

从 $56 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (24 x^{6}) + 4 (16 x^{5}) + 4 (- 5 x^{4}) + 4 (- 4 x^{2}) + 4 (14 x) + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (24 x^{6}) + 4 (16 x^{5}) + 4 (- 5 x^{4}) + 4 (- 4 x^{2}) + 4 (14 x) + 4 (3)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.7

从 $4 (24 x^{6}) + 4 (16 x^{5})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (24 x^{6} + 16 x^{5}) + 4 (- 5 x^{4}) + 4 (- 4 x^{2}) + 4 (14 x) + 4 (3)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.8

从 $4 (24 x^{6} + 16 x^{5}) + 4 (- 5 x^{4})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (24 x^{6} + 16 x^{5} - 5 x^{4}) + 4 (- 4 x^{2}) + 4 (14 x) + 4 (3)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.9

从 $4 (24 x^{6} + 16 x^{5} - 5 x^{4}) + 4 (- 4 x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (24 x^{6} + 16 x^{5} - 5 x^{4} - 4 x^{2}) + 4 (14 x) + 4 (3)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.10

从 $4 (24 x^{6} + 16 x^{5} - 5 x^{4} - 4 x^{2}) + 4 (14 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (24 x^{6} + 16 x^{5} - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 14 x) + 4 (3)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.11

从 $4 (24 x^{6} + 16 x^{5} - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 14 x) + 4 (3)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (24 x^{6} + 16 x^{5} - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 14 x + 3)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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