微积分学示例

$5 x \sec (x) + x \tan (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $5 x \sec (x) + x \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x \sec (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x \sec (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x \sec (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x \sec (x)]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x \sec (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$5 (x \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

解题步骤 2.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$5 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

解题步骤 2.5

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$5 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x)) + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [x \tan (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$5 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x)) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$5 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x)) + x \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x)) + x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 1$

解题步骤 3.4

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$5 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x)) + x \sec^{2} (x) + \tan (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$5 (x (\sec (x) \tan (x))) + 5 \sec (x) + x \sec^{2} (x) + \tan (x)$

解题步骤 4.2

去掉多余的括号。

$5 x (\sec (x) \tan (x)) + 5 \sec (x) + x \sec^{2} (x) + \tan (x)$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$5 x \sec (x) \tan (x) + x \sec^{2} (x) + 5 \sec (x) + \tan (x)$

微积分学 示例

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