微积分学示例

$6 {(6 e^{8 x} + 5)}^{2}$

解题步骤 1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 {(6 e^{8 x} + 5)}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [{(6 e^{8 x} + 5)}^{2}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [{(6 e^{8 x} + 5)}^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 6 e^{8 x} + 5$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $6 e^{8 x} + 5$ 。

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

解题步骤 2.3

使用 $6 e^{8 x} + 5$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$6 (2 (6 e^{8 x} + 5) \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$12 ((6 e^{8 x} + 5) \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $6 e^{8 x} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (\frac{d}{d x} [6 e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 3.3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 e^{8 x}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ 。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 \frac{d}{d x} [e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $8 x$ 。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 4.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 5.2

将 $8$ 乘以 $6$ 。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 5.4

将 $48$ 乘以 $1$ 。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 5.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} + 0)$

解题步骤 5.6

化简表达式。

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解题步骤 5.6.1

将 $48 e^{8 x}$ 和 $0$ 相加。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x})$

解题步骤 5.6.2

将 $48$ 乘以 $12$ 。

$576 (6 e^{8 x} + 5) e^{8 x}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$(576 (6 e^{8 x}) + 576 \cdot 5) e^{8 x}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$576 (6 e^{8 x}) e^{8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

解题步骤 6.3

合并项。

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解题步骤 6.3.1

将 $6$ 乘以 $576$ 。

$3456 e^{8 x} e^{8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

解题步骤 6.3.2

通过指数相加将 $e^{8 x}$ 乘以 $e^{8 x}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

移动 $e^{8 x}$ 。

$3456 (e^{8 x} e^{8 x}) + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

解题步骤 6.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3456 e^{8 x + 8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

解题步骤 6.3.2.3

将 $8 x$ 和 $8 x$ 相加。

$3456 e^{16 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

解题步骤 6.3.3

将 $576$ 乘以 $5$ 。

$3456 e^{16 x} + 2880 e^{8 x}$

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