微积分学示例

$7 e^{x \cos (x)}$

解题步骤 1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 e^{x \cos (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x \cos (x)$ 。

$7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \cos (x)])$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$7 (e^{u} \frac{d}{d x} [x \cos (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $x \cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$7 (e^{x \cos (x)} \frac{d}{d x} [x \cos (x)])$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$7 e^{x \cos (x)} (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$7 e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

解题步骤 5.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$7 e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$7 e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x))) + 7 e^{x \cos (x)} \cos (x)$

解题步骤 6.2

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$- 7 e^{x \cos (x)} x \sin (x) + 7 e^{x \cos (x)} \cos (x)$

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