微积分学示例

$\arccos (\sqrt{1 - x^{2}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\arccos ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arccos (x)$ 且 $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\arccos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

将 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{1}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4

化简。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 5.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 10

合并分数。

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解题步骤 10.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 10.4

将 $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 11

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 12

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 13

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 14

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 15

乘。

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解题步骤 15.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 15.2

将 $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (2 x)$

解题步骤 17

化简项。

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解题步骤 17.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ 。

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} x$

解题步骤 17.2

组合 $\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

解题步骤 17.3

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

解题步骤 17.4

重写表达式。

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

运用分配律。

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 \cdot 1 - - x^{2}}}$

解题步骤 18.2

合并项。

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解题步骤 18.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 - - x^{2}}}$

解题步骤 18.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + 1 x^{2}}}$

解题步骤 18.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + x^{2}}}$

解题步骤 18.2.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{0 + x^{2}}}$

解题步骤 18.2.5

将 $0$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2}}}$

解题步骤 18.2.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 18.2.7

约去公因数。

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 18.2.8

重写表达式。

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.3

重新排序项。

$\frac{1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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