微积分学示例

$\arctan (x e^{x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = x e^{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x e^{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $x e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

解题步骤 4.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

解题步骤 5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

对 $x e^{x}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{1 + x^{2} {(e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

解题步骤 5.2

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{x \cdot 2}} (x e^{x} + e^{x})$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$

解题步骤 5.3

重新排序 $\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$ 的因式。

$(x e^{x} + e^{x}) \frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

解题步骤 5.4

将 $x e^{x} + e^{x}$ 乘以 $\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$ 。

$\frac{x e^{x} + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

解题步骤 5.5

从 $x e^{x} + e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

从 $x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} x + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

解题步骤 5.5.2

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

解题步骤 5.5.3

从 $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x + 1)}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

微积分学 示例

微积分学示例