微积分学示例

$\arctan (\frac{x}{y})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{y}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x}{y}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{y}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{y}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}}$ 。

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

对 $\frac{x}{y}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{y (1 + \frac{x^{2}}{y^{2}})}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{1}{y \cdot 1 + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

解题步骤 3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.1

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

解题步骤 3.3.2

组合 $y$ 和 $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y^{2}}}$

解题步骤 3.3.3

约去 $y$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1

从 $y x^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y^{2}}}$

解题步骤 3.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y \cdot y}}$

解题步骤 3.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y \cdot y}}$

解题步骤 3.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y + \frac{x^{2}}{y}}$

解题步骤 3.4

化简分母。

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解题步骤 3.4.1

要将 $y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{1}{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{x^{2}}{y}}$

解题步骤 3.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\frac{y \cdot y + x^{2}}{y}}$

解题步骤 3.4.3

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{1}{\frac{y^{2} + x^{2}}{y}}$

解题步骤 3.5

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

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