微积分学示例

$\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$

解题步骤 1

根据加法法则， $\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ 。

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{9}{x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{9}{x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

解题步骤 2.1.2

$\arctan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

解题步骤 2.1.3

使用 $\frac{9}{x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

解题步骤 2.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{9}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

解题步骤 2.5

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (- 9 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

解题步骤 2.6

组合 $- 9$ 和 $\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ 。

$\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

解题步骤 2.7

组合 $\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$\frac{- 9 x^{- 2}}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

解题步骤 2.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{- 9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

解题步骤 2.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{3}{x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{3}{x}$ 。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

解题步骤 3.1.2

$\arctan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ 。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\frac{3}{x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 (- x^{- 2}))$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (- 3 x^{- 2})$

解题步骤 3.6

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ 。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} x^{- 2}$

解题步骤 3.7

组合 $\frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3 x^{- 2}}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$

解题步骤 3.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

解题步骤 3.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{9}{x}$ 运用乘积法则。

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $\frac{3}{x}$ 运用乘积法则。

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5

合并项。

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解题步骤 4.5.1

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5.3

组合 $\frac{81}{x^{2}}$ 和 $x^{2}$ 。

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5.4

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.4.1

约去公因数。

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5.4.2

用 $81$ 除以 $1$ 。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5.5

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5.7

组合 $\frac{9}{x^{2}}$ 和 $x^{2}$ 。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.5.8

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.8.1

约去公因数。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.5.8.2

用 $9$ 除以 $1$ 。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

解题步骤 4.5.9

要将 $- \frac{9}{x^{2} + 81}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ 。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

解题步骤 4.5.10

要将 $- \frac{3}{x^{2} + 9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ 。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

解题步骤 4.5.11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)$ 的形式。

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解题步骤 4.5.11.1

将 $\frac{9}{x^{2} + 81}$ 乘以 $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ 。

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

解题步骤 4.5.11.2

将 $\frac{3}{x^{2} + 9}$ 乘以 $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ 。

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)}$

解题步骤 4.5.11.3

重新排序 $(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)$ 的因式。

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

解题步骤 4.5.12

在公分母上合并分子。

$\frac{- 9 (x^{2} + 9) - 3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

解题步骤 4.6

重新排序项。

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

从 $- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

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解题步骤 4.7.1.1

从 $- 9 (x^{2} + 9)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

解题步骤 4.7.1.2

从 $- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

解题步骤 4.7.2

运用分配律。

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 3 \cdot 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

解题步骤 4.7.3

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

解题步骤 4.7.4

将 $x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 81 + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

解题步骤 4.7.5

将 $81$ 和 $27$ 相加。

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

解题步骤 4.7.6

从 $4 x^{2} + 108$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 4.7.6.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{- 3 (4 (x^{2}) + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

解题步骤 4.7.6.2

从 $108$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 4 \cdot 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

解题步骤 4.7.6.3

从 $4 x^{2} + 4 \cdot 27$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{- 3 (4 (x^{2} + 27))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

$\frac{- 3 \cdot 4 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

解题步骤 4.7.7

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

解题步骤 4.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

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