微积分学示例

$\arctan (\frac{6 x}{5})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{6 x}{5}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{6 x}{5}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{6 x}{5}]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{6 x}{5}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{6 x}{5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{6 x}{5}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{6}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6 x}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2}} (\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2

将 $\frac{6}{5}$ 乘以 $\frac{1}{1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2}}$ 。

$\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})} \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

对 $\frac{6 x}{5}$ 运用乘积法则。

$\frac{6}{5 (1 + \frac{{(6 x)}^{2}}{5^{2}})}$

解题步骤 3.2

对 $6 x$ 运用乘积法则。

$\frac{6}{5 (1 + \frac{6^{2} x^{2}}{5^{2}})}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{6}{5 \cdot 1 + 5 \frac{6^{2} x^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 3.4

合并项。

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解题步骤 3.4.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{5 + 5 \frac{6^{2} x^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 3.4.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{6}{5 + 5 \frac{36 x^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 3.4.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{6}{5 + 5 \frac{36 x^{2}}{25}}$

解题步骤 3.4.4

组合 $5$ 和 $\frac{36 x^{2}}{25}$ 。

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{25}}$

解题步骤 3.4.5

将 $36$ 乘以 $5$ 。

$\frac{6}{5 + \frac{180 x^{2}}{25}}$

解题步骤 3.4.6

约去 $180$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.6.1

从 $180 x^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{25}}$

解题步骤 3.4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.6.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{5 (5)}}$

解题步骤 3.4.6.2.2

约去公因数。

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{5 \cdot 5}}$

解题步骤 3.4.6.2.3

重写表达式。

$\frac{6}{5 + \frac{36 x^{2}}{5}}$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$\frac{6}{\frac{36 x^{2}}{5} + 5}$

解题步骤 3.6

化简分母。

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解题步骤 3.6.1

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{6}{\frac{36 x^{2}}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}}$

解题步骤 3.6.2

组合 $5$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{6}{\frac{36 x^{2}}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}}$

解题步骤 3.6.3

在公分母上合并分子。

$\frac{6}{\frac{36 x^{2} + 5 \cdot 5}{5}}$

解题步骤 3.6.4

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{6}{\frac{36 x^{2} + 25}{5}}$

解题步骤 3.7

将分子乘以分母的倒数。

$6 \frac{5}{36 x^{2} + 25}$

解题步骤 3.8

乘以 $6 \frac{5}{36 x^{2} + 25}$ 。

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解题步骤 3.8.1

组合 $6$ 和 $\frac{5}{36 x^{2} + 25}$ 。

$\frac{6 \cdot 5}{36 x^{2} + 25}$

解题步骤 3.8.2

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$\frac{30}{36 x^{2} + 25}$

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