微积分学示例

$f (x) = (x^{2} + 1) \sec (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 1$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$(x^{2} + 1) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(x^{2} + 1) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} + 1) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} + 1) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + 0)$

解题步骤 3.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} + 1) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$(x^{2} \sec (x) + 1 \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (2 x)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + 1 \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x)$

解题步骤 4.3

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x)$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + 2 x \sec (x)$

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