微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

解题步骤 1.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

解题步骤 1.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $2^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

解题步骤 1.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2^{x} \ln (2)}$

解题步骤 2

因为项 $\frac{2}{\ln (2)}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

解题步骤 3.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

解题步骤 3.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $2^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

解题步骤 3.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x} \ln (2)}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{1}{\ln (2)}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x}}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{2^{x}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

乘以 $\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)}$ 。

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解题步骤 6.1.1

将 $\frac{2}{\ln (2)}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (2)}$ 。

$\frac{2}{\ln (2) \ln (2)} \cdot 0$

解题步骤 6.1.2

对 $\ln (2)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln (2)} \cdot 0$

解题步骤 6.1.3

对 $\ln (2)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)} \cdot 0$

解题步骤 6.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2}{{\ln (2)}^{1 + 1}} \cdot 0$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{\ln^{2} (2)} \cdot 0$

解题步骤 6.2

将 $\frac{2}{\ln^{2} (2)}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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