微积分学示例

$\frac{f (x) (a x + b x^{2})}{a m + b m^{2}}$

解题步骤 1

从 $a x + b x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1

从 $a x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) (x a + b x^{2})}{a m + b m^{2}}]$

解题步骤 1.2

从 $b x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) (x a + x (b x))}{a m + b m^{2}}]$

解题步骤 1.3

从 $x a + x (b x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) (x (a + b x))}{a m + b m^{2}}]$

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{a m + b m^{2}}]$

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

从 $a m + b m^{2}$ 中分解出因数 $m$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $a m$ 中分解出因数 $m$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{m a + b m^{2}}]$

解题步骤 2.1.2

从 $b m^{2}$ 中分解出因数 $m$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{m a + m (b m)}]$

解题步骤 2.1.3

从 $m a + m (b m)$ 中分解出因数 $m$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{m (a + b m)}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{f (x) x (a + b x)}{m (a + b m)}$ 中的因式重新排序。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (a + b x) f (x)}{m (a + b m)}]$

解题步骤 2.3

因为 $\frac{f (x)}{m (a + b m)}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x (a + b x) f (x)}{m (a + b m)}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{f (x)}{m (a + b m)} \frac{d}{d x} [x (a + b x)]$ 。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} \frac{d}{d x} [x (a + b x)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = a + b x$ 。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x \frac{d}{d x} [a + b x] + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $a + b x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]$ 。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (0 + \frac{d}{d x} [b x]) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [b x]$ 相加。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x \frac{d}{d x} [b x] + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

因为 $b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $b x$ 对 $x$ 的导数是 $b \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (b \frac{d}{d x} [x]) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (b \cdot 1) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x b + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x b + (a + b x) \cdot 1)$

解题步骤 4.8

将 $a + b x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x b + a + b x)$

解题步骤 5

将 $x b$ 和 $b x$ 相加。

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解题步骤 5.1

将 $x$ 和 $b$ 重新排序。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (a + b x + b x)$

解题步骤 5.2

将 $b x$ 和 $b x$ 相加。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (a + 2 b x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{f (x)}{m a + m (b m)} (a + 2 b x)$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{f (x)}{m a + m (b m)} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

解题步骤 6.3

合并项。

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解题步骤 6.3.1

对 $m$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m)} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

解题步骤 6.3.2

对 $m$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m^{1})} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

解题步骤 6.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{f (x)}{m a + b m^{1 + 1}} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

解题步骤 6.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{f (x)}{m a + b m^{2}} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

解题步骤 6.3.5

组合 $\frac{f (x)}{m a + b m^{2}}$ 和 $a$ 。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

解题步骤 6.3.6

对 $m$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m)} (2 b x)$

解题步骤 6.3.7

对 $m$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m^{1})} (2 b x)$

解题步骤 6.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b m^{1 + 1}} (2 b x)$

解题步骤 6.3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b m^{2}} (2 b x)$

解题步骤 6.3.10

组合 $2$ 和 $\frac{f (x)}{m a + b m^{2}}$ 。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{2 f (x)}{m a + b m^{2}} (b x)$

解题步骤 6.3.11

组合 $b$ 和 $\frac{2 f (x)}{m a + b m^{2}}$ 。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{b (2 f (x))}{m a + b m^{2}} x$

解题步骤 6.3.12

组合 $\frac{b (2 f (x))}{m a + b m^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{b (2 f (x)) x}{m a + b m^{2}}$

解题步骤 6.3.13

将 $2$ 移到 $b$ 的左侧。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{2 \cdot b f (x) x}{m a + b m^{2}}$

解题步骤 6.3.14

在公分母上合并分子。

$\frac{f (x) a + 2 b f (x) x}{m a + b m^{2}}$

解题步骤 6.4

重新排序项。

$\frac{a f (x) + 2 b x f (x)}{a m + m^{2} b}$

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