微积分学示例

$\cos (\arctan (2 x))$

解题步骤 1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1

在平面中画出顶点为 $(1, 2 x)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (2 x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, 2 x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arctan (2 x))$ 为 $\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}]$

解题步骤 1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 (x))}^{2}}}]$

解题步骤 1.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.1

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}}}]$

解题步骤 1.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}]$

解题步骤 1.3.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 重写成 ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.3.4

将 $\frac{1}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.3.5

将 ${({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 1.3.5.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 1.3.5.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 + 4 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + 4 x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $1 + 4 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 7.2

组合 ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 8

根据加法法则， $1 + 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

解题步骤 9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

解题步骤 10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 相加。

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

解题步骤 11

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 12

化简项。

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解题步骤 12.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 12.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{- 4}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 12.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 13

约去公因数。

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解题步骤 13.1

从 $2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 ({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

解题步骤 16

合并分数。

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解题步骤 16.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

解题步骤 16.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{- 2 \cdot 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

解题步骤 16.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

解题步骤 16.4

组合 $\frac{- 4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 16.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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