微积分学示例

$\cos (\arctan (\ln (x)))$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

在平面中画出顶点为 $(1, \ln (x))$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (\ln (x))$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \ln (x))$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arctan (\ln (x)))$ 为 $\frac{1}{\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}}]$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}$ 重写成 ${(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.3

将 $\frac{1}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.4

将 ${({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 1.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 1.4.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 + \ln^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 + \ln^{2} (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $1 + \ln^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

解题步骤 6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

解题步骤 7.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.1

组合 ${(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{{(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

解题步骤 7.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

解题步骤 7.3

根据加法法则， $1 + \ln^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

解题步骤 7.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

解题步骤 7.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ 相加。

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

解题步骤 8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\ln (x)$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 8.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 9

化简项。

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解题步骤 9.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 9.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 9.3

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{- 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{\ln (x) \cdot - 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 9.4

将 $- 2$ 移到 $\ln (x)$ 的左侧。

$\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 9.5

从 $- 2 \ln (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 10

约去公因数。

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解题步骤 10.1

从 $2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 ({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 10.2

约去公因数。

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 10.3

重写表达式。

$\frac{- \ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 12

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$- \frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 13

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$- \frac{\ln (x)}{x {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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