微积分学示例

$\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

根据加法法则， $\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$ 。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$

解题步骤 2

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3.1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.3.3

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.3.4

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.3.5

重新排序项。

$\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.3.7

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.4

用 $0$ 除以 $x^{2} + 1$ 。

$0$

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