微积分学示例

$\csc (x) \tan (x) \cos (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \csc (x) \tan (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$\csc (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \tan (x)]$

解题步骤 2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \tan (x)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 4

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 5

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \sec^{2} (x)) + \cos (x) (\tan (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 6.2

去掉多余的括号。

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \csc (x) \sec^{2} (x) + \cos (x) \tan (x) (- \csc (x) \cot (x))$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$- \csc (x) \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 6.4.1.1

添加圆括号。

$- (\csc (x) \sin (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.1.2

将 $- \csc (x) \sin (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.1.3

约去公因数。

$- 1 \cdot 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.3

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.4

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.5

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.6

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.6.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.6.2

约去公因数。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.6.3

重写表达式。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)} \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.7

一的任意次幂都为一。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.8

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.9

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.10

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.11

乘以 $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 6.4.11.1

组合 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.11.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.11.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.11.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.11.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

解题步骤 6.4.12

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \tan (x)$

解题步骤 6.4.13

乘以 $- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 6.4.13.1

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} \tan (x)$

解题步骤 6.4.13.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \tan (x)$

解题步骤 6.4.13.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \tan (x)$

解题步骤 6.4.13.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \tan (x)$

解题步骤 6.4.13.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \tan (x)$

解题步骤 6.4.14

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6.4.15

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.15.1

将 $- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6.4.15.2

从 $- \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6.4.15.3

约去公因数。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6.4.15.4

重写表达式。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

解题步骤 6.4.16

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.16.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

解题步骤 6.4.16.2

约去公因数。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

解题步骤 6.4.16.3

重写表达式。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6.4.17

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6.5

化简每一项。

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解题步骤 6.5.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$- \tan (x) + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6.5.2

分离分数。

$- \tan (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6.5.3

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- \tan (x) + \frac{1}{\sin (x)} \sec (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6.5.4

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$- \tan (x) + \csc (x) \sec (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6.5.5

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$- \tan (x) + \csc (x) \sec (x) - \cot (x)$

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