微积分学示例

$D x (\sqrt{5 x y})$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 x y}$ 重写成 ${(5 x y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [D x {(5 x y)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.2.1

从 $5 x y$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{d}{d x} [D x {(5 (x y))}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2.2

对 $5 (x y)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [D x (5^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 1.3

因为 $D \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $D x (5^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}})$ 对 $x$ 的导数是 $D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x ({(x y)}^{\frac{1}{2}})]$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x ({(x y)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}] + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y] + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 10

组合 $y$ 和 $\frac{x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12

将 $\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 14

将 ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

对 $x y$ 运用乘积法则。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} + {(x y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.2

对 $x y$ 运用乘积法则。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.3

运用分配律。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4

合并项。

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解题步骤 15.4.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y x y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y x y^{- \frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.3

化简分子。

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解题步骤 15.4.3.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 15.4.3.1.1

移动 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2}} y x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.3.1.2

将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 15.4.3.1.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2} + 1} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.3.1.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.3.1.4

在公分母上合并分子。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.3.1.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 15.4.3.2.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.3.2.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 15.4.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.3.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.3.2.4

在公分母上合并分子。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.3.2.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.4

组合 $D$ 和 $\frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$5^{\frac{1}{2}} \frac{D (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.5

组合 $5^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{D (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} (D (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15.4.6

将 $D$ 和 $5^{\frac{1}{2}}$ 重新排序。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2} + 5^{\frac{1}{2}} \cdot D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 15.4.7

要将 $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2} + 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 15.4.8

组合 $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

解题步骤 15.4.9

在公分母上合并分子。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

解题步骤 15.4.10

将 $2$ 移到 $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot (5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 15.4.11

将 $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 和 $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 15.5

重新排序项。

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} D}{2}$

解题步骤 15.6

将 $\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} D}{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{3 D \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2}$

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