微积分学示例

$f (x) = 2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ 。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

解题步骤 1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \ln (\frac{1}{x})$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ 。

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 2.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$0 + 3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} (- x^{- 2}))$

解题步骤 2.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{x}$ 。

$0 + 3 (1 x (- x^{- 2}))$

解题步骤 2.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$0 + 3 (x (- x^{- 2}))$

解题步骤 2.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$0 + 3 (- (x^{1} x^{- 2}))$

解题步骤 2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 + 3 (- x^{1 - 2})$

解题步骤 2.9

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$0 + 3 (- x^{- 1})$

解题步骤 2.10

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$0 - 3 x^{- 1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$0 - 3 \frac{1}{x}$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$0 + \frac{- 3}{x}$

解题步骤 3.2.2

将负号移到分数的前面。

$0 - \frac{3}{x}$

解题步骤 3.2.3

从 $0$ 中减去 $\frac{3}{x}$ 。

$- \frac{3}{x}$

微积分学 示例

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