微积分学示例

$f (x) = 4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{6}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{6}$ 。

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{4}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x^{6}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 3.3

组合 $6$ 和 $\frac{1}{x^{6}}$ 。

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x^{6}} x^{5} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{6}{x^{6}}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{4}{x} + \frac{6 x^{5}}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 3.5

约去 $x^{5}$ 和 $x^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $6 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 e^{x}$

解题步骤 5

合并项。

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解题步骤 5.1

在公分母上合并分子。

$\frac{4 + 6}{x} + 8 e^{x}$

解题步骤 5.2

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$\frac{10}{x} + 8 e^{x}$

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