微积分学示例

$f (x) = 5 x \sqrt[3]{x - 8}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 8}$ 重写成 ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x - 8)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x - 8$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 8$ 。

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$5 (x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $x - 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$5 (x (\frac{{(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$5 (x (\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 8] + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

根据加法法则， $x - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 11

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12

化简表达式。

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解题步骤 12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12.2

将 $\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1)$

解题步骤 14

将 ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 15

要将 ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 16

组合 ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 8)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 17

在公分母上合并分子。

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18

通过指数相加将 ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 18.1

移动 ${(x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2}{3}} {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.3

在公分母上合并分子。

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 19

化简表达式。

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解题步骤 19.1

化简 ${(x - 8)}^{1} \cdot 3$ 。

$5 \frac{x + (x - 8) \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 19.2

将 $3$ 移到 $x - 8$ 的左侧。

$5 \frac{x + 3 \cdot (x - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 20

组合 $5$ 和 $\frac{x + 3 (x - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{5 (x + 3 (x - 8))}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21

化简。

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解题步骤 21.1

运用分配律。

$\frac{5 (x + 3 x + 3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.2

运用分配律。

$\frac{5 x + 5 (3 x) + 5 (3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.3

化简分子。

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解题步骤 21.3.1

化简每一项。

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解题步骤 21.3.1.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5 x + 15 x + 5 (3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.3.1.2

乘以 $5 (3 \cdot - 8)$ 。

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解题步骤 21.3.1.2.1

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{5 x + 15 x + 5 \cdot - 24}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.3.1.2.2

将 $5$ 乘以 $- 24$ 。

$\frac{5 x + 15 x - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.3.2

将 $5 x$ 和 $15 x$ 相加。

$\frac{20 x - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.4

从 $20 x - 120$ 中分解出因数 $20$ 。

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解题步骤 21.4.1

从 $20 x$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{20 (x) - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.4.2

从 $- 120$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{20 x + 20 \cdot - 6}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.4.3

从 $20 x + 20 \cdot - 6$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{20 (x - 6)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

微积分学 示例

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