微积分学示例

$f (x) = 3^{\ln (\cos (x))}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 3^{x}$ 且 $g (x) = \ln (\cos (x))$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (\cos (x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$3^{u_{1}} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

解题步骤 1.3

使用 $\ln (\cos (x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) \sec (x) (- \sin (x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序 $3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) \sec (x) (- \sin (x))$ 的因式。

$- 3^{\ln (\cos (x))} \sec (x) \sin (x) \ln (3)$

解题步骤 5.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 3^{\ln (\cos (x))} \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \ln (3)$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{1}{\cos (x)}$ 和 $3^{\ln (\cos (x))}$ 。

$- \frac{3^{\ln (\cos (x))}}{\cos (x)} \sin (x) \ln (3)$

解题步骤 5.4

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{3^{\ln (\cos (x))}}{\cos (x)}$ 。

$- \frac{\sin (x) \cdot 3^{\ln (\cos (x))}}{\cos (x)} \ln (3)$

解题步骤 5.5

组合 $\ln (3)$ 和 $\frac{\sin (x) \cdot 3^{\ln (\cos (x))}}{\cos (x)}$ 。

$- \frac{\ln (3) (\sin (x) \cdot 3^{\ln (\cos (x))})}{\cos (x)}$

解题步骤 5.6

分离分数。

$- (\frac{\ln (3) \cdot 3^{\ln (\cos (x))}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 5.7

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$- (\frac{\ln (3) \cdot 3^{\ln (\cos (x))}}{1} \tan (x))$

解题步骤 5.8

用 $\ln (3) \cdot 3^{\ln (\cos (x))}$ 除以 $1$ 。

$- (\ln (3) \cdot 3^{\ln (\cos (x))} \tan (x))$

解题步骤 5.9

将 $- \ln (3) \cdot 3^{\ln (\cos (x))} \tan (x)$ 中的因式重新排序。

$- 3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) \tan (x)$

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