微积分学示例

$\int \frac{2 x + 1}{(3 x - 1) (2 x + 5)} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{3 x - 1}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{3 x - 1} + \frac{B}{2 x + 5}$

解题步骤 1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(3 x - 1) (2 x + 5)$ 。

$\frac{(2 x + 1) (3 x - 1) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

解题步骤 1.1.4

约去 $3 x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{(2 x + 1) (3 x - 1) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

解题步骤 1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{(2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 5} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

解题步骤 1.1.5

约去 $2 x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{(2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 5} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

解题步骤 1.1.5.2

用 $2 x + 1$ 除以 $1$ 。

$2 x + 1 = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

解题步骤 1.1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.1

约去 $3 x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1.1

约去公因数。

$2 x + 1 = \frac{A (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

解题步骤 1.1.6.1.2

用 $(A) (2 x + 5)$ 除以 $1$ 。

$2 x + 1 = (A) (2 x + 5) + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

解题步骤 1.1.6.2

运用分配律。

$2 x + 1 = A (2 x) + A \cdot 5 + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

解题步骤 1.1.6.3

使用乘法的交换性质重写。

$2 x + 1 = 2 A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

解题步骤 1.1.6.4

将 $5$ 移到 $A$ 的左侧。

$2 x + 1 = 2 A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

解题步骤 1.1.6.5

约去 $2 x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.5.1

约去公因数。

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

解题步骤 1.1.6.5.2

用 $(B) (3 x - 1)$ 除以 $1$ 。

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + (B) (3 x - 1)$

解题步骤 1.1.6.6

运用分配律。

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + B (3 x) + B \cdot - 1$

解题步骤 1.1.6.7

使用乘法的交换性质重写。

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x + B \cdot - 1$

解题步骤 1.1.6.8

将 $- 1$ 移到 $B$ 的左侧。

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x - 1 \cdot B$

解题步骤 1.1.6.9

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x - B$

解题步骤 1.1.7

重新排序。

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解题步骤 1.1.7.1

移动 $A$ 。

$2 x + 1 = 2 x A + 5 A + 3 B x - B$

解题步骤 1.1.7.2

移动 $B$ 。

$2 x + 1 = 2 x A + 5 A + 3 x B - B$

解题步骤 1.1.7.3

移动 $5 A$ 。

$2 x + 1 = 2 x A + 3 x B + 5 A - B$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$2 = 2 A + 3 B$

解题步骤 1.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = 5 A - 1 B$

解题步骤 1.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$2 = 2 A + 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

$2 = 2 A + 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $2 = 2 A + 3 B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $2 A + 3 B = 2$ 。

$2 A + 3 B = 2$

$1 = 5 A - 1 B$

解题步骤 1.3.1.2

从等式两边同时减去 $3 B$ 。

$2 A = 2 - 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

解题步骤 1.3.1.3

将 $2 A = 2 - 3 B$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.3.1.3.1

将 $2 A = 2 - 3 B$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 A}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

解题步骤 1.3.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.1.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 A}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

解题步骤 1.3.1.3.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

解题步骤 1.3.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.3.3.1.1

用 $2$ 除以 $2$ 。

$A = 1 + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

解题步骤 1.3.1.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1 - \frac{3 B}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $1 - \frac{3 B}{2}$ 替换 $1 = 5 A - 1 B$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = 5 (1 - \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简 $5 (1 - \frac{3 B}{2}) - 1 B$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$1 = 5 \cdot 1 + 5 (- \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$1 = 5 + 5 (- \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.3

乘以 $5 (- \frac{3 B}{2})$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$1 = 5 - 5 \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.3.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{3 B}{2}$ 。

$1 = 5 + \frac{- 5 (3 B)}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$1 = 5 + \frac{- 15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{- 15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.4

将负号移到分数的前面。

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.5

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

要将 $- B$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B \cdot \frac{2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.3

化简项。

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解题步骤 1.3.2.2.1.3.1

组合 $- B$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} + \frac{- B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.3.2

在公分母上合并分子。

$1 = 5 + \frac{- 15 B - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{- 15 B - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.2.1.4.1

化简分子。

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解题步骤 1.3.2.2.1.4.1.1

从 $- 15 B - B \cdot 2$ 中分解出因数 $B$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1.4.1.1.1

从 $- 15 B$ 中分解出因数 $B$ 。

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 15 - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.4.1.1.2

从 $- B \cdot 2$ 中分解出因数 $B$ 。

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 15 + B (- 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.4.1.1.3

从 $B \cdot - 15 + B (- 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $B$ 。

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.4.1.3

从 $- 15$ 中减去 $2$ 。

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 17}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 17}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.4.2

将 $- 17$ 移到 $B$ 的左侧。

$1 = 5 + \frac{- 17 \cdot B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.2.2.1.4.3

将负号移到分数的前面。

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3

在 $1 = 5 - \frac{17 B}{2}$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

将方程重写为 $5 - \frac{17 B}{2} = 1$ 。

$5 - \frac{17 B}{2} = 1$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- \frac{17 B}{2} = 1 - 5$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.2.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$- \frac{17 B}{2} = - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$- \frac{17 B}{2} = - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.3

等式两边同时乘以 $- \frac{2}{17}$ 。

$- \frac{2}{17} \cdot (- \frac{17 B}{2}) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 1.3.3.4.1

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.4.1.1

化简 $- \frac{2}{17} (- \frac{17 B}{2})$ 。

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解题步骤 1.3.3.4.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.4.1.1.1.1

将 $- \frac{2}{17}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 2}{17} \cdot (- \frac{17 B}{2}) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.4.1.1.1.2

将 $- \frac{17 B}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 2}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.4.1.1.1.3

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1)}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.4.1.1.1.4

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.4.1.1.1.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{17} \cdot (- 17 B) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$\frac{- 1}{17} \cdot (- 17 B) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.4.1.1.2

约去 $17$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.4.1.1.2.1

从 $- 17 B$ 中分解出因数 $17$ 。

$\frac{- 1}{17} \cdot (17 (- B)) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.4.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{17} \cdot (17 (- B)) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.4.1.1.2.3

重写表达式。

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.4.1.1.3

乘。

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解题步骤 1.3.3.4.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.4.1.1.3.2

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.4.2.1

乘以 $- \frac{2}{17} \cdot - 4$ 。

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解题步骤 1.3.3.4.2.1.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$B = 4 (\frac{2}{17})$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.4.2.1.2

组合 $4$ 和 $\frac{2}{17}$ 。

$B = \frac{4 \cdot 2}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.3.4.2.1.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

解题步骤 1.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $\frac{8}{17}$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $\frac{8}{17}$ 替换 $A = 1 - \frac{3 B}{2}$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 1 - \frac{3 (\frac{8}{17})}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

解题步骤 1.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

化简 $1 - \frac{3 (\frac{8}{17})}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.2.1.1.1

组合 $3$ 和 $\frac{8}{17}$ 。

$A = 1 - \frac{\frac{3 \cdot 8}{17}}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

解题步骤 1.3.4.2.1.1.2

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$A = 1 - \frac{\frac{24}{17}}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

解题步骤 1.3.4.2.1.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$A = 1 - (\frac{24}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

解题步骤 1.3.4.2.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.4.2.1.1.4.1

从 $24$ 中分解出因数 $2$ 。

$A = 1 - (\frac{2 (12)}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

解题步骤 1.3.4.2.1.1.4.2

约去公因数。

$A = 1 - (\frac{2 \cdot 12}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

解题步骤 1.3.4.2.1.1.4.3

重写表达式。

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

解题步骤 1.3.4.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 1.3.4.2.1.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$A = \frac{17}{17} - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

解题步骤 1.3.4.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$A = \frac{17 - 12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

解题步骤 1.3.4.2.1.2.3

从 $17$ 中减去 $12$ 。

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

解题步骤 1.3.5

列出所有解。

$A = \frac{5}{17}, B = \frac{8}{17}$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{3 x - 1} + \frac{B}{2 x + 5}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{\frac{5}{17}}{3 x - 1} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{5}{17} \cdot \frac{1}{3 x - 1} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{5}{17}$ 乘以 $\frac{1}{3 x - 1}$ 。

$\frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

解题步骤 1.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{8}{17} \cdot \frac{1}{2 x + 5}$

解题步骤 1.5.4

将 $\frac{8}{17}$ 乘以 $\frac{1}{2 x + 5}$ 。

$\int \frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{5}{17 (3 x - 1)} d x + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{5}{17}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{5}{17}$ 移到积分外。

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{3 x - 1} d x + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

解题步骤 4

使 $u_{1} = 3 x - 1$ 。然后使 $d u_{1} = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{1} = 3 x - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $3 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 4.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

解题步骤 5.2

将 $3$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{5}{17} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{5}{17}$ 。

$\frac{5}{3 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

解题步骤 7.2

将 $3$ 乘以 $17$ 。

$\frac{5}{51} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

解题步骤 8

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

解题步骤 9

由于 $\frac{8}{17}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{8}{17}$ 移到积分外。

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

解题步骤 10

使 $u_{2} = 2 x + 5$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u_{2} = 2 x + 5$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $2 x + 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

解题步骤 10.1.2

根据加法法则， $2 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 10.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 10.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 10.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 10.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 10.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 10.1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 10.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 10.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{8}{17}$ 。

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 13.2

将 $2$ 乘以 $17$ 。

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{34} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 13.3

约去 $8$ 和 $34$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 (4)}{34} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 13.3.2

约去公因数。

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解题步骤 13.3.2.1

从 $34$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 13.3.2.2

约去公因数。

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 13.3.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 14

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{17} (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 15

化简。

$\frac{5}{51} \ln (| u_{1} |) + \frac{4}{17} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 16

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 16.1

使用 $3 x - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{5}{51} \ln (| 3 x - 1 |) + \frac{4}{17} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 16.2

使用 $2 x + 5$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{5}{51} \ln (| 3 x - 1 |) + \frac{4}{17} \ln (| 2 x + 5 |) + C$

微积分学 示例

微积分学示例