微积分学示例

$f (x) = \frac{550 x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 12}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 12}$ 重写成 ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{550 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2

因为 $550$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{550 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $550 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$550 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 12)}^{1}}$

解题步骤 4

化简。

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 12}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 12}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 移到 ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$550 \frac{2 \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 12}$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 12$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 12$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

解题步骤 6.3

使用 $x^{2} + 12$ 替换所有出现的 $u$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

解题步骤 11

合并分数。

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解题步骤 11.1

将负号移到分数的前面。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

解题步骤 11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

解题步骤 11.4

组合 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]}{x^{2} + 12}$

解题步骤 12

根据加法法则， $x^{2} + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])}{x^{2} + 12}$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [12])}{x^{2} + 12}$

解题步骤 14

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 12}$

解题步骤 15

合并分数。

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解题步骤 15.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 12}$

解题步骤 15.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - 2 \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 12}$

解题步骤 15.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 12}$

解题步骤 15.4

组合 $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2} x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 18

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 19

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 20

约去公因数。

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解题步骤 20.1

从 $2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 ({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 20.2

约去公因数。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 20.3

重写表达式。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 21

将负号移到分数的前面。

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 22

用公分母合并 $2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x$ 和 $- \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 22.1

移动 ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$550 \frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 22.2

要将 $2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 22.3

在公分母上合并分子。

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 23

通过指数相加将 ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 23.1

移动 ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$550 \frac{\frac{2 x ({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 23.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 23.3

在公分母上合并分子。

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 23.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{2}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 23.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{1} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 24

化简 $2 x {(x^{2} + 12)}^{1}$ 。

$550 \frac{\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

解题步骤 25

将 $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$ 重写为乘积形式。

$550 (\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 12})$

解题步骤 26

将 $\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 12}$ 。

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 12)}$

解题步骤 27

通过指数相加将 ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 12$ 。

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解题步骤 27.1

将 ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 12$ 。

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解题步骤 27.1.1

对 $x^{2} + 12$ 进行 $1$ 次方运算。

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{1}}$

解题步骤 27.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 27.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 27.3

在公分母上合并分子。

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 27.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 28

组合 $550$ 和 $\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{550 (2 x (x^{2} + 12) - x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29

化简。

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解题步骤 29.1

运用分配律。

$\frac{550 (2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 12 - x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29.2

运用分配律。

$\frac{550 (2 x \cdot x^{2}) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29.3

化简分子。

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解题步骤 29.3.1

化简每一项。

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解题步骤 29.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 29.3.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{550 (2 (x^{2} x)) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29.3.1.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 29.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{550 (2 (x^{2} x^{1})) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{550 (2 x^{2 + 1}) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29.3.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{550 (2 x^{3}) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29.3.1.2

将 $2$ 乘以 $550$ 。

$\frac{1100 x^{3} + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29.3.1.3

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1100 x^{3} + 550 (24 x) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29.3.1.4

将 $24$ 乘以 $550$ 。

$\frac{1100 x^{3} + 13200 x + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $550$ 。

$\frac{1100 x^{3} + 13200 x - 550 x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29.3.2

从 $1100 x^{3}$ 中减去 $550 x^{3}$ 。

$\frac{550 x^{3} + 13200 x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29.4

从 $550 x^{3} + 13200 x$ 中分解出因数 $550 x$ 。

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解题步骤 29.4.1

从 $550 x^{3}$ 中分解出因数 $550 x$ 。

$\frac{550 x (x^{2}) + 13200 x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29.4.2

从 $13200 x$ 中分解出因数 $550 x$ 。

$\frac{550 x (x^{2}) + 550 x (24)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29.4.3

从 $550 x (x^{2}) + 550 x (24)$ 中分解出因数 $550 x$ 。

$\frac{550 x (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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