微积分学示例

$f (x) = \frac{4}{x} + 2^{x - 6} - x + 5^{5}$

解题步骤 1

使用求加法法则求导。

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解题步骤 1.1

对 $5$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + 2^{x - 6} - x + 3125]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $\frac{4}{x} + 2^{x - 6} - x + 3125$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [2^{x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [2^{x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2^{x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [2^{x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [2^{x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 2.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [2^{x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2^{x - 6}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 2^{x}$ 且 $g (x) = x - 6$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 6$ 。

$- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$- 4 x^{- 2} + 2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x - 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 3.4

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 3.6

将 $2^{x - 6}$ 乘以 $1$ 。

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1 + \frac{d}{d x} [3125]$

解题步骤 5

因为 $3125$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3125$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1 + 0$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 4 \frac{1}{x^{2}} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1 + 0$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{- 4}{x^{2}} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1 + 0$

解题步骤 6.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{x^{2}} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1 + 0$

解题步骤 6.2.3

将 $- \frac{4}{x^{2}} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{4}{x^{2}} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$2^{x - 6} \ln (2) - \frac{4}{x^{2}} - 1$

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