微积分学示例

$x^{2} - x - \ln (x)$

解题步骤 1

将 $x^{2} - x - \ln (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} - x - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.1.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

解题步骤 2.1.4

重新排序项。

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x - \frac{1}{x} - 1$ 。

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x, 1, 1$

解题步骤 3.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 3.3

将 $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

将 $- \frac{1}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

约去公因数。

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

重写表达式。

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

分组因式分解。

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解题步骤 3.4.1.1

重新排序项。

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

解题步骤 3.4.1.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

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解题步骤 3.4.1.2.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.4.1.2.2

把 $- 1$ 重写为 $1$ 加 $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

解题步骤 3.4.1.2.3

运用分配律。

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

解题步骤 3.4.1.2.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

解题步骤 3.4.1.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.4.1.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

解题步骤 3.4.1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

解题步骤 3.4.1.4

通过因式分解出最大公因数 $2 x + 1$ 来因式分解多项式。

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

解题步骤 3.4.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.4.3

将 $2 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $2 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x + 1 = 0$

解题步骤 3.4.3.2

求解 $x$ 的 $2 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.4.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x = - 1$

解题步骤 3.4.3.2.2

将 $2 x = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.3.2.2.1

将 $2 x = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.4.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.4.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.4.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.4.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 3.4.5

最终解为使 $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{2}, 1$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $- \frac{1}{2}, 1$ 。

$- \frac{1}{2}, 1$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 6

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 7

排除不在定义域中的区间。

解题步骤 8

将区间 $(- 0.5, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $- 0.25$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 0.25) = 2 (- 0.25) - \frac{1}{- 0.25} - 1$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 0.25$ 。

$f' (- 0.25) = - 0.5 - \frac{1}{- 0.25} - 1$

解题步骤 8.2.1.2

用 $1$ 除以 $- 0.25$ 。

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

解题步骤 8.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $- 0.5$ 和 $4$ 相加。

$f' (- 0.25) = 3.5 - 1$

解题步骤 8.2.2.2

从 $3.5$ 中减去 $1$ 。

$f' (- 0.25) = 2.5$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $2.5$ 。

$2.5$

解题步骤 9

排除不在定义域中的区间。

$(0, 1)$

解题步骤 10

将区间 $(0, 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $\frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.1.1

约去公因数。

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

解题步骤 10.2.1.1.2

重写表达式。

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

解题步骤 10.2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2) - 1$

解题步骤 10.2.1.3

乘以 $- (1 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 10.2.1.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 1 \cdot 2 - 1$

解题步骤 10.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 2 - 1$

解题步骤 10.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 10.2.2.1

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 - 1$

解题步骤 10.2.2.2

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = - 2$

解题步骤 10.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 10.3

在 $x = \frac{1}{2}$ 处，导数为 $- 2$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 1)$ 上递减

解题步骤 11

排除不在定义域中的区间。

$(0, 1), (1, \infty)$

解题步骤 12

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 2 (2) - \frac{1}{2} - 1$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = 4 - \frac{1}{2} - 1$

解题步骤 12.2.2

求公分母。

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解题步骤 12.2.2.1

将 $4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (2) = \frac{4}{1} - \frac{1}{2} - 1$

解题步骤 12.2.2.2

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (2) = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

解题步骤 12.2.2.3

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

解题步骤 12.2.2.4

将 $- 1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

解题步骤 12.2.2.5

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 12.2.2.6

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 12.2.3

在公分母上合并分子。

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 12.2.4

化简每一项。

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解题步骤 12.2.4.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 12.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 2}{2}$

解题步骤 12.2.5

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 12.2.5.1

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$f' (2) = \frac{7 - 2}{2}$

解题步骤 12.2.5.2

从 $7$ 中减去 $2$ 。

$f' (2) = \frac{5}{2}$

解题步骤 12.2.6

最终答案为 $\frac{5}{2}$ 。

$\frac{5}{2}$

解题步骤 12.3

在 $x = 2$ 处，导数为 $\frac{5}{2}$ 。由于其值为正，函数在 $(1, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1, \infty)$ 上递增

解题步骤 13

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(1, \infty)$

递减于： $(0, 1)$

解题步骤 14

微积分学 示例

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