微积分学示例

$f (x) = \frac{\cos (8 x) - 1}{\sin (9 x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (8 x) - 1$ 且 $g (x) = \sin (9 x)$ 。

$\frac{\sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x) - 1] - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 2

根据加法法则， $\cos (8 x) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{\sin (9 x) (\frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $8 x$ 。

$\frac{\sin (9 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 3.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$\frac{\sin (9 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 3.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{\sin (9 x) (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\sin (9 x) (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 4.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 4.4

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 4.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) + 0) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 4.6

将 $- 8 \sin (8 x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $9 x$ 。

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 5.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 5.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) (\cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 6.2

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x) \frac{d}{d x} [x]}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x) \cdot 1}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 6.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) + (- 9 \cos (8 x) - 9 \cdot - 1) \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) - 9 \cdot - 1 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 7.3

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 8 \sin (9 x) \sin (8 x) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) - 9 \cdot - 1 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 7.3.2

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 8 \sin (9 x) \sin (8 x) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) + 9 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$\frac{- 8 \sin (8 x) \sin (9 x) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) + 9 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

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