微积分学示例

$f (x) = \frac{8 (x - t)}{x^{2}}$

解题步骤 1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8 (x - t)}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{x - t}{x^{2}}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x - t}{x^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - t$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - t] - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - t] - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - t] - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x - t$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]$ 。

$8 \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]) - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- t]) - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.4

因为 $- t$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- t$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$8 \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$8 \frac{x^{2} - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 \frac{x^{2} - (x - t) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 3.7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \frac{x^{2} - 2 (x - t) x}{x^{4}}$

解题步骤 3.7.2

从 $x^{2} - 2 (x - t) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.7.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$8 \frac{x \cdot x - 2 (x - t) x}{x^{4}}$

解题步骤 3.7.2.2

从 $- 2 (x - t) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$8 \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - t))}{x^{4}}$

解题步骤 3.7.2.3

从 $x \cdot x + x (- 2 (x - t))$ 中分解出因数 $x$ 。

$8 \frac{x (x - 2 (x - t))}{x^{4}}$

解题步骤 4

约去公因数。

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解题步骤 4.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$8 \frac{x (x - 2 (x - t))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 4.2

约去公因数。

$8 \frac{x (x - 2 (x - t))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 4.3

重写表达式。

$8 \frac{x - 2 (x - t)}{x^{3}}$

解题步骤 5

组合 $8$ 和 $\frac{x - 2 (x - t)}{x^{3}}$ 。

$\frac{8 (x - 2 (x - t))}{x^{3}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{8 (x - 2 x - 2 (- t))}{x^{3}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{8 x + 8 (- 2 x) + 8 (- 2 (- t))}{x^{3}}$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{8 x - 16 x + 8 (- 2 (- t))}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{8 x - 16 x + 8 (2 t)}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.1.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{8 x - 16 x + 16 t}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.2

从 $8 x$ 中减去 $16 x$ 。

$\frac{- 8 x + 16 t}{x^{3}}$

解题步骤 6.4

重新排序项。

$\frac{16 t - 8 x}{x^{3}}$

解题步骤 6.5

从 $16 t - 8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 6.5.1

从 $16 t$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (2 t) - 8 x}{x^{3}}$

解题步骤 6.5.2

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (2 t) + 8 (- x)}{x^{3}}$

解题步骤 6.5.3

从 $8 (2 t) + 8 (- x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (2 t - x)}{x^{3}}$

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