微积分学示例

$f (x) = \frac{7 x}{4 - \tan (x)}$

解题步骤 1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7 x}{4 - \tan (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 - \tan (x)}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 - \tan (x)}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 4 - \tan (x)$ 。

$7 \frac{(4 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 - \tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 \frac{(4 - \tan (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 - \tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $4 - \tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$7 \frac{4 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [4 - \tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $4 - \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

$7 \frac{4 - \tan (x) - x (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$7 \frac{4 - \tan (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 相加。

$7 \frac{4 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$7 \frac{4 - \tan (x) - x (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 3.7

乘。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$7 \frac{4 - \tan (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$7 \frac{4 - \tan (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 4

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$7 \frac{4 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 5

组合 $7$ 和 $\frac{4 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$ 。

$\frac{7 (4 - \tan (x) + x \sec^{2} (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{7 \cdot 4 + 7 (- \tan (x)) + 7 (x \sec^{2} (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$\frac{28 + 7 (- \tan (x)) + 7 (x \sec^{2} (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{28 - 7 \tan (x) + 7 x \sec^{2} (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{7 x \sec^{2} (x) + 28 - 7 \tan (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4

从 $7 x \sec^{2} (x) + 28 - 7 \tan (x)$ 中分解出因数 $7$ 。

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解题步骤 6.4.1

从 $7 x \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 (x \sec^{2} (x)) + 28 - 7 \tan (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.2

从 $28$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 (x \sec^{2} (x)) + 7 (4) - 7 \tan (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.3

从 $- 7 \tan (x)$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 (x \sec^{2} (x)) + 7 (4) + 7 (- \tan (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.4

从 $7 (x \sec^{2} (x)) + 7 (4)$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 (x \sec^{2} (x) + 4) + 7 (- \tan (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.5

从 $7 (x \sec^{2} (x) + 4) + 7 (- \tan (x))$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 (x \sec^{2} (x) + 4 - \tan (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

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