微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{x + \frac{c}{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + \frac{c}{x}$ 。

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $x + \frac{c}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 3

将 $\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 4

合并。

$\frac{x (x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 5

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 6

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

约去公因数。

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2

重写表达式。

$\frac{x \cdot x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} x^{1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x^{1}) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} + c - x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 15

根据加法法则， $x + \frac{c}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}]$ 。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 17

因为 $c$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{c}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 18

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 19

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- x^{- 2}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- c \frac{1}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.3.1.3

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $c$ 。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- \frac{c}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.3.1.4

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.3.1.4.1

将 $- \frac{c}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.3.1.4.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.3.1.4.3

约去公因数。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.3.1.4.4

重写表达式。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - - c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + 1 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.3.1.6

将 $c$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.3.2

合并 $x^{2} + c - x^{2} + c$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.3.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{c + 0 + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.3.2.2

将 $c$ 和 $0$ 相加。

$\frac{c + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.3.3

将 $c$ 和 $c$ 相加。

$\frac{2 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.4

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.4.1

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x}{x} + \frac{c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x + c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.4.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 c}{x {(\frac{x^{2} + c}{x})}^{2}}$

解题步骤 20.4.4

对 $\frac{x^{2} + c}{x}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 c}{x \frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 20.5

组合 $x$ 和 $\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 20.6

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.6.1

从 $x {(x^{2} + c)}^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x^{2}}}$

解题步骤 20.6.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x \cdot x}}$

解题步骤 20.6.3

约去公因数。

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x \cdot x}}$

解题步骤 20.6.4

重写表达式。

$\frac{2 c}{\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x}}$

解题步骤 20.7

将分子乘以分母的倒数。

$2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

解题步骤 20.8

乘以 $2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.8.1

组合 $2$ 和 $\frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ 。

$c \frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

解题步骤 20.8.2

组合 $c$ 和 $\frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ 。

$\frac{c (2 x)}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

解题步骤 20.9

将 $2$ 移到 $c$ 的左侧。

$\frac{2 c x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例