微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{3 x}{x^{2} + 2 x}$

解题步骤 1

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + 2 x}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

解题步骤 2.1.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

解题步骤 2.1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$3 \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

解题步骤 2.1.3.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.3.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \frac{0}{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.3.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \frac{0}{0^{2} + 2 \cdot 0}$

解题步骤 2.1.3.5

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.5.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 \frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

解题步骤 2.1.3.5.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$3 \frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 2.1.3.5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$3 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.5.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$3 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$3 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$3 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$3 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 2.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2}$

解题步骤 3

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$3 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

解题步骤 3.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$3 \frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$3 \frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

解题步骤 3.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 \frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

解题步骤 3.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$3 \frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 2}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \frac{1}{2 \cdot 0 + 2}$

解题步骤 5

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$3 \frac{1}{0 + 2}$

解题步骤 5.1.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$3 (\frac{1}{2})$

解题步骤 5.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{2}$

小数形式：

$1.5$

微积分学 示例

微积分学示例