微积分学示例

$f (x) = x^{2} \log_{4} (3 - x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \log_{4} (3 - x)$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{4} (3 - x)] + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{4} (x)$ 且 $g (x) = 3 - x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 - x$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\log_{4} (u)] \frac{d}{d x} [3 - x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.2

$\log_{4} (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \ln (4)}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{u \ln (4)} \frac{d}{d x} [3 - x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $3 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (\frac{1}{(3 - x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [3 - x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{(3 - x) \ln (4)}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [3 - x] + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $3 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [- x] + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (- \frac{d}{d x} [x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (- 1 \cdot 1) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.7

合并分数。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} \cdot - 1 + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.7.2

组合 $\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} \cdot - 1}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.7.3

化简表达式。

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解题步骤 3.7.3.1

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.7.3.2

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.7.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) (2 x)$

解题步骤 3.9

移动 $\log_{4} (- x + 3)$ 。

$- \frac{x^{2}}{(- x + 3) \ln (4)} + 2 x \log_{4} (- x + 3)$

解题步骤 4

要将 $2 x \log_{4} (- x + 3)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(- x + 3) \ln (4)}{(- x + 3) \ln (4)}$ 。

$- \frac{x^{2}}{(- x + 3) \ln (4)} + 2 x \log_{4} (- x + 3) \cdot \frac{(- x + 3) \ln (4)}{(- x + 3) \ln (4)}$

解题步骤 5

组合 $2 x \log_{4} (- x + 3)$ 和 $\frac{(- x + 3) \ln (4)}{(- x + 3) \ln (4)}$ 。

$- \frac{x^{2}}{(- x + 3) \ln (4)} + \frac{2 x \log_{4} (- x + 3) ((- x + 3) \ln (4))}{(- x + 3) \ln (4)}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{- x^{2} + 2 x \log_{4} (- x + 3) ((- x + 3) \ln (4))}{(- x + 3) \ln (4)}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{- x^{2} + 2 x \log_{4} (- x + 3) (- x \ln (4) + 3 \ln (4))}{(- x + 3) \ln (4)}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{- x^{2} + 2 x \log_{4} (- x + 3) (- x \ln (4) + 3 \ln (4))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log_{4} (- x + 3)$ 。

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4) + 3 \ln (4))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (4)$ 。

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4) + \ln (4^{3}))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.3.1.2.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4) + \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.3.1.3

运用分配律。

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4)) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x^{2} - \ln (4) x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) x + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{- x^{2} - \ln (4) (x \cdot x) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- x^{2} - \ln (4) x^{2} \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.3.2

将 $- x^{2} - \ln (4) x^{2} \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)$ 中的因式重新排序。

$\frac{- x^{2} - x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.4

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) - x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.5

从 $- x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) - (x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.6

从 $- (x^{2}) - (x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.7

从 $x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) - (- x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.8

从 $- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) - (- x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.9

将 $- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))$ 重写为 $- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))$ 。

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.10

从 $- x \ln (4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- (x \ln (4)) + 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.11

从 $3 \ln (4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- (x \ln (4)) - (- 3 \ln (4))}$

解题步骤 7.12

从 $- (x \ln (4)) - (- 3 \ln (4))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- (x \ln (4) - 3 \ln (4))}$

解题步骤 7.13

将 $- (x \ln (4) - 3 \ln (4))$ 重写为 $- 1 (x \ln (4) - 3 \ln (4))$ 。

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- 1 (x \ln (4) - 3 \ln (4))}$

解题步骤 7.14

约去公因数。

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- 1 (x \ln (4) - 3 \ln (4))}$

解题步骤 7.15

重写表达式。

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{x \ln (4) - 3 \ln (4)}$

解题步骤 7.16

重新排序项。

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \ln (64) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})}{x \ln (4) - 3 \ln (4)}$

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