微积分学示例

$| x - 3 | + | x + 2 | < 11$

解题步骤 1

使用 $| x - 3 | + | x + 2 | < 11$ 中的 $=$ 替换 $<$ 。

$| x - 3 | + | x + 2 | = 11$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $| x - 3 |$ 。

$| x + 2 | = 11 - | x - 3 |$

解题步骤 3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x + 2 = \pm (11 - | x - 3 |)$

解题步骤 4

结果由 $\pm$ 的正数和负数部分组成。

$x + 2 = 11 - | x - 3 |$

$x + 2 = - (11 - | x - 3 |)$

解题步骤 5

求解 $x$ 的 $x + 2 = 11 - | x - 3 |$ 。

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解题步骤 5.1

求解 $| x - 3 |$ 。

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解题步骤 5.1.1

将方程重写为 $11 - | x - 3 | = x + 2$ 。

$11 - | x - 3 | = x + 2$

解题步骤 5.1.2

将所有不包含 $| x - 3 |$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.2.1

从等式两边同时减去 $11$ 。

$- | x - 3 | = x + 2 - 11$

解题步骤 5.1.2.2

从 $2$ 中减去 $11$ 。

$- | x - 3 | = x - 9$

解题步骤 5.1.3

将 $- | x - 3 | = x - 9$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.1.3.1

将 $- | x - 3 | = x - 9$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- | x - 3 |}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 5.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{| x - 3 |}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 5.1.3.2.2

用 $| x - 3 |$ 除以 $1$ 。

$| x - 3 | = \frac{x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 5.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.3.3.1.1

移动 $\frac{x}{- 1}$ 中分母的负号。

$| x - 3 | = - 1 \cdot x + \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2

将 $- 1 \cdot x$ 重写为 $- x$ 。

$| x - 3 | = - x + \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 5.1.3.3.1.3

用 $- 9$ 除以 $- 1$ 。

$| x - 3 | = - x + 9$

解题步骤 5.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x - 3 = \pm (- x + 9)$

解题步骤 5.3

结果由 $\pm$ 的正数和负数部分组成。

$x - 3 = - x + 9$

$x - 3 = - (- x + 9)$

解题步骤 5.4

求解 $x$ 的 $x - 3 = - x + 9$ 。

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解题步骤 5.4.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.4.1.1

在等式两边都加上 $x$ 。

$x - 3 + x = 9$

解题步骤 5.4.1.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 x - 3 = 9$

解题步骤 5.4.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.4.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 x = 9 + 3$

解题步骤 5.4.2.2

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$2 x = 12$

解题步骤 5.4.3

将 $2 x = 12$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $2 x = 12$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{12}{2}$

解题步骤 5.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{12}{2}$

解题步骤 5.4.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{12}{2}$

解题步骤 5.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.3.1

用 $12$ 除以 $2$ 。

$x = 6$

解题步骤 5.5

求解 $x$ 的 $x - 3 = - (- x + 9)$ 。

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解题步骤 5.5.1

化简 $- (- x + 9)$ 。

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解题步骤 5.5.1.1

重写。

$x - 3 = 0 + 0 - (- x + 9)$

解题步骤 5.5.1.2

通过加上各个零进行化简。

$x - 3 = - (- x + 9)$

解题步骤 5.5.1.3

运用分配律。

$x - 3 = - - x - 1 \cdot 9$

解题步骤 5.5.1.4

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 5.5.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x - 3 = 1 x - 1 \cdot 9$

解题步骤 5.5.1.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x - 3 = x - 1 \cdot 9$

解题步骤 5.5.1.5

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$x - 3 = x - 9$

解题步骤 5.5.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.5.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x - 3 - x = - 9$

解题步骤 5.5.2.2

合并 $x - 3 - x$ 中相反的项。

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解题步骤 5.5.2.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$0 - 3 = - 9$

解题步骤 5.5.2.2.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$- 3 = - 9$

解题步骤 5.5.3

因为 $- 3 \neq - 9$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 5.6

合并解集。

$x = 6$

解题步骤 6

求解 $x$ 的 $x + 2 = - (11 - | x - 3 |)$ 。

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解题步骤 6.1

求解 $| x - 3 |$ 。

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解题步骤 6.1.1

将方程重写为 $- (11 - | x - 3 |) = x + 2$ 。

$- (11 - | x - 3 |) = x + 2$

解题步骤 6.1.2

化简 $- (11 - | x - 3 |)$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

运用分配律。

$- 1 \cdot 11 - - | x - 3 | = x + 2$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$- 11 - - | x - 3 | = x + 2$

解题步骤 6.1.2.3

乘以 $- - | x - 3 |$ 。

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解题步骤 6.1.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 11 + 1 | x - 3 | = x + 2$

解题步骤 6.1.2.3.2

将 $| x - 3 |$ 乘以 $1$ 。

$- 11 + | x - 3 | = x + 2$

解题步骤 6.1.3

将所有不包含 $| x - 3 |$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.3.1

在等式两边都加上 $11$ 。

$| x - 3 | = x + 2 + 11$

解题步骤 6.1.3.2

将 $2$ 和 $11$ 相加。

$| x - 3 | = x + 13$

解题步骤 6.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x - 3 = \pm (x + 13)$

解题步骤 6.3

结果由 $\pm$ 的正数和负数部分组成。

$x - 3 = x + 13$

$x - 3 = - (x + 13)$

解题步骤 6.4

求解 $x$ 的 $x - 3 = x + 13$ 。

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解题步骤 6.4.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.4.1.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x - 3 - x = 13$

解题步骤 6.4.1.2

合并 $x - 3 - x$ 中相反的项。

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解题步骤 6.4.1.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$0 - 3 = 13$

解题步骤 6.4.1.2.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$- 3 = 13$

解题步骤 6.4.2

因为 $- 3 \neq 13$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 6.5

求解 $x$ 的 $x - 3 = - (x + 13)$ 。

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解题步骤 6.5.1

化简 $- (x + 13)$ 。

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解题步骤 6.5.1.1

重写。

$x - 3 = 0 + 0 - (x + 13)$

解题步骤 6.5.1.2

通过加上各个零进行化简。

$x - 3 = - (x + 13)$

解题步骤 6.5.1.3

运用分配律。

$x - 3 = - x - 1 \cdot 13$

解题步骤 6.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $13$ 。

$x - 3 = - x - 13$

解题步骤 6.5.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.5.2.1

在等式两边都加上 $x$ 。

$x - 3 + x = - 13$

解题步骤 6.5.2.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 x - 3 = - 13$

解题步骤 6.5.3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.5.3.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 x = - 13 + 3$

解题步骤 6.5.3.2

将 $- 13$ 和 $3$ 相加。

$2 x = - 10$

解题步骤 6.5.4

将 $2 x = - 10$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.5.4.1

将 $2 x = - 10$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 10}{2}$

解题步骤 6.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 10}{2}$

解题步骤 6.5.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 10}{2}$

解题步骤 6.5.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.4.3.1

用 $- 10$ 除以 $2$ 。

$x = - 5$

解题步骤 6.6

合并解集。

$x = - 5$

解题步骤 7

合并解集。

$x = 6, - 5$

解题步骤 8

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 5$

$- 5 < x < 6$

$x > 6$

解题步骤 9

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 9.1

检验区间 $x < - 5$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 9.1.1

选择区间 $x < - 5$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 8$

解题步骤 9.1.2

使用原不等式中的 $- 8$ 替换 $x$ 。

$| (- 8) - 3 | + | (- 8) + 2 | < 11$

解题步骤 9.1.3

左边的 $17$ 不小于右边的 $11$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 9.2

检验区间 $- 5 < x < 6$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 9.2.1

选择区间 $- 5 < x < 6$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 9.2.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$| (0) - 3 | + | (0) + 2 | < 11$

解题步骤 9.2.3

左边的 $5$ 小于右边的 $11$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 9.3

检验区间 $x > 6$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 9.3.1

选择区间 $x > 6$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 8$

解题步骤 9.3.2

使用原不等式中的 $8$ 替换 $x$ 。

$| (8) - 3 | + | (8) + 2 | < 11$

解题步骤 9.3.3

左边的 $15$ 不小于右边的 $11$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 9.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 5$ 为假

$- 5 < x < 6$ 为真

$x > 6$ 为假

$x < - 5$ 为假

$- 5 < x < 6$ 为真

$x > 6$ 为假

解题步骤 10

解由使等式成立的所有区间组成。

$- 5 < x < 6$

解题步骤 11

把不等式转换成区间计数法。

$(- 5, 6)$

解题步骤 12

微积分学 示例

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