微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$ , $x = 2$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \sqrt{{(x + h)}^{2} + 5}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = \sqrt{(x + h) (x + h) + 5}$

解题步骤 2.1.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = \sqrt{x (x + h) + h (x + h) + 5}$

解题步骤 2.1.2.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h (x + h) + 5}$

解题步骤 2.1.2.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 5}$

解题步骤 2.1.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 5}$

解题步骤 2.1.2.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h^{2} + 5}$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + h x + h x + h^{2} + 5}$

解题步骤 2.1.2.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

解题步骤 2.1.2.4

最终答案为 $\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$ 。

$\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5} - (\sqrt{x^{2} + 5})}{h}$

解题步骤 4

将 $- 1$ 乘以 $\sqrt{x^{2} + 5}$ 。

$\frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5} - \sqrt{x^{2} + 5}}{h}$

解题步骤 5

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + 2 h (2) + h^{2} + 5} - \sqrt{{(2)}^{2} + 5}}{h}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 + 2 h \cdot 2 + h^{2} + 5} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 + 4 h + h^{2} + 5} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

解题步骤 6.3

将 $4$ 和 $5$ 相加。

$\frac{\sqrt{4 h + h^{2} + 9} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

解题步骤 6.4

重新排序项。

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

解题步骤 6.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{4 + 5}}{h}$

解题步骤 6.6

将 $4$ 和 $5$ 相加。

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{9}}{h}$

解题步骤 6.7

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{3^{2}}}{h}$

解题步骤 6.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - 1 \cdot 3}{h}$

解题步骤 6.9

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - 3}{h}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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