微积分学示例

$f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ , $f' (6)$

解题步骤 1

求 $f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ 的导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$9 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$9 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$9 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$9 x^{2} - 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 x^{2} - 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.4.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$9 x^{2} - 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.5.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$9 x^{2} - 10 x + 5 + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $9 x^{2} - 10 x + 5$ 和 $0$ 相加。

$9 x^{2} - 10 x + 5$

解题步骤 2

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$9 {(6)}^{2} - 10 \cdot 6 + 5$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 \cdot 36 - 10 \cdot 6 + 5$

解题步骤 3.1.2

将 $9$ 乘以 $36$ 。

$324 - 10 \cdot 6 + 5$

解题步骤 3.1.3

将 $- 10$ 乘以 $6$ 。

$324 - 60 + 5$

解题步骤 3.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.2.1

从 $324$ 中减去 $60$ 。

$264 + 5$

解题步骤 3.2.2

将 $264$ 和 $5$ 相加。

$269$

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