微积分学示例

f (x) = 3 e^{2 x} + 1

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$

解题步骤 1

将

f (x) = 3 e^{2 x} + 1

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ 写为等式。

y = 3 e^{2 x} + 1

$y = 3 e^{2 x} + 1$

解题步骤 2

交换变量。

x = 3 e^{2 y} + 1

$x = 3 e^{2 y} + 1$

解题步骤 3

求解

y

$y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为

3 e^{2 y} + 1 = x

$3 e^{2 y} + 1 = x$ 。

3 e^{2 y} + 1 = x

$3 e^{2 y} + 1 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去

1

$1$ 。

3 e^{2 y} = x - 1

$3 e^{2 y} = x - 1$

解题步骤 3.3

将

3 e^{2 y} = x - 1

$3 e^{2 y} = x - 1$ 中的每一项除以

3

$3$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将

3 e^{2 y} = x - 1

$3 e^{2 y} = x - 1$ 中的每一项都除以

3

$3$ 。

\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去

3

$3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用

$e^{2 y}$ 除以

$1$ 。

$e^{2 y} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$e^{2 y} = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 3.4

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 3.5

展开左边。

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解题步骤 3.5.1

通过将

$2 y$ 移到对数外来展开

$\ln (e^{2 y})$ 。

$2 y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 3.5.2

$e$ 的自然对数为

$1$ 。

$2 y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 3.5.3

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 3.6

将

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ 中的每一项除以

$2$ 并化简。

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解题步骤 3.6.1

将

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ 中的每一项都除以

$2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

解题步骤 3.6.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

解题步骤 3.6.2.1.2

用

$y$ 除以

$1$ 。

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

解题步骤 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

解题步骤 5

验证

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ 是否为

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 和

$f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算

$f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将

$f$ 的值代入

$f^{- 1}$ 来计算

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1)$ 。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

解题步骤 5.2.3

将

$\frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ 重写为

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ 。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$

解题步骤 5.2.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ 。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.5

化简每一项。

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解题步骤 5.2.5.1

运用分配律。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.5.2

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

从

$3 e^{2 x}$ 中分解出因数

$3$ 。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 (e^{2 x})) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.5.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.5.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.5.3

将

$\frac{1}{3}$ 乘以

$1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.6.1

合并

$e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.6.1.1

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1 - 1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.6.1.2

从

$1$ 中减去

$1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{0}{3})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.6.1.3

用

$0$ 除以

$3$ 。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.6.1.4

将

$e^{2 x}$ 和

$0$ 相加。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.6.2

将

${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.6.2.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

解题步骤 5.2.6.2.2

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.2.2.1

从

$2 x$ 中分解出因数

$2$ 。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

解题步骤 5.2.6.2.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

解题步骤 5.2.6.2.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

解题步骤 5.2.7

使用对数规则把

$x$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

解题步骤 5.2.8

$e$ 的自然对数为

$1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

解题步骤 5.2.9

将

$x$ 乘以

$1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x$

解题步骤 5.3

计算

$f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将

$f^{- 1}$ 的值代入

$f$ 来计算

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})} + 1$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

解题步骤 5.3.3.1.2

约去公因数。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

解题步骤 5.3.3.1.3

重写表达式。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{\ln (\frac{x - 1}{3})} + 1$

解题步骤 5.3.3.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

解题步骤 5.3.3.3

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1

约去公因数。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

解题步骤 5.3.3.3.2

重写表达式。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x - 1 + 1$

解题步骤 5.3.4

合并

$x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将

$- 1$ 和

$1$ 相加。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将

$x$ 和

$0$ 相加。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x$

解题步骤 5.4

由于

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 和

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ 为

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

微积分学 示例

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