微积分学示例

$f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ 写为等式。

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$ 。

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$

解题步骤 3.2

两边同时乘以 $1 - e^{y}$ 。

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

约去 $1 - e^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

解题步骤 3.3.1.1.2

重写表达式。

$1 + e^{y} = x (1 - e^{y})$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 $x (1 - e^{y})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

运用分配律。

$1 + e^{y} = x \cdot 1 + x (- e^{y})$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$1 + e^{y} = x + x (- e^{y})$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$1 + e^{y} = x - x e^{y}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

在等式两边都加上 $x e^{y}$ 。

$1 + e^{y} + x e^{y} = x$

解题步骤 3.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$e^{y} + x e^{y} = x - 1$

解题步骤 3.4.3

从 $e^{y} + x e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

乘以 $1$ 。

$e^{y} \cdot 1 + x e^{y} = x - 1$

解题步骤 3.4.3.2

从 $x e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} x = x - 1$

解题步骤 3.4.3.3

从 $e^{y} \cdot 1 + e^{y} x$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$e^{y} (1 + x) = x - 1$

解题步骤 3.4.4

将 $e^{y} (1 + x) = x - 1$ 中的每一项除以 $1 + x$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $e^{y} (1 + x) = x - 1$ 中的每一项都除以 $1 + x$ 。

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $1 + x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $e^{y}$ 除以 $1$ 。

$e^{y} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

在公分母上合并分子。

$e^{y} = \frac{x - 1}{1 + x}$

解题步骤 3.4.5

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

解题步骤 3.4.6

展开左边。

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解题步骤 3.4.6.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

解题步骤 3.4.6.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

解题步骤 3.4.6.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ 是否为 $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

解题步骤 5.2.3

去掉圆括号。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

解题步骤 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - e^{x}$ .

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解题步骤 5.2.4.1

将 $\frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}}$ 乘以 $\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}} \cdot \frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

解题步骤 5.2.4.2

合并。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1)}{(1 - e^{x}) (1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

解题步骤 5.2.5

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

解题步骤 5.2.6

通过相约进行化简。

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解题步骤 5.2.6.1

约去 $1 - e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.1.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

解题步骤 5.2.6.1.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

解题步骤 5.2.6.2

约去 $1 - e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

解题步骤 5.2.6.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

解题步骤 5.2.7

化简分子。

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解题步骤 5.2.7.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + 1 \cdot - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

解题步骤 5.2.7.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

解题步骤 5.2.7.3

乘以 $- e^{x} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.2.7.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + 1 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

解题步骤 5.2.7.3.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

解题步骤 5.2.7.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{0 + e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

解题步骤 5.2.7.5

将 $0$ 和 $e^{x}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

解题步骤 5.2.7.6

将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

解题步骤 5.2.8

化简分母。

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解题步骤 5.2.8.1

将 $1 - e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 - e^{x} + 1 + e^{x}})$

解题步骤 5.2.8.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 - e^{x} + e^{x}})$

解题步骤 5.2.8.3

将 $- e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 + 0})$

解题步骤 5.2.8.4

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

解题步骤 5.2.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.9.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

解题步骤 5.2.9.2

用 $e^{x}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (e^{x})$

解题步骤 5.2.10

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \ln (e)$

解题步骤 5.2.11

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \cdot 1$

解题步骤 5.2.12

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x}))$ 。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.3

在公分母上合并分子。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x + x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.4

重新排序项。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.5

以因式分解的形式重写 $\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}$ 。

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解题步骤 5.3.3.5.1

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.5.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.5.3

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.4

化简分母。

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解题步骤 5.3.4.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - \frac{x - 1}{1 + x}}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{x - 1}{1 + x}}$

解题步骤 5.3.4.3

在公分母上合并分子。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - (x - 1)}{1 + x}}$

解题步骤 5.3.4.4

重新排序项。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.5

以因式分解的形式重写 $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}$ 。

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解题步骤 5.3.4.5.1

运用分配律。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.5.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.5.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.5.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

解题步骤 5.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

解题步骤 5.3.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

解题步骤 5.3.6.2

约去公因数。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

解题步骤 5.3.6.3

重写表达式。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

解题步骤 5.3.7

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

约去公因数。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

解题步骤 5.3.7.2

重写表达式。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ 为 $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

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