微积分学示例

$f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 写为等式。

$y = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$ 。

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$

解题步骤 3.2

两边同时乘以 $e^{y} + 1$ 。

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

约去 $e^{y} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

解题步骤 3.3.1.1.2

重写表达式。

$e^{y} - 1 = x (e^{y} + 1)$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 $x (e^{y} + 1)$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

运用分配律。

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x \cdot 1$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $x e^{y}$ 。

$e^{y} - 1 - x e^{y} = x$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$e^{y} - x e^{y} = x + 1$

解题步骤 3.4.3

从 $e^{y} - x e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

乘以 $1$ 。

$e^{y} \cdot 1 - x e^{y} = x + 1$

解题步骤 3.4.3.2

从 $- x e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x) = x + 1$

解题步骤 3.4.3.3

从 $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x)$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$e^{y} (1 - x) = x + 1$

解题步骤 3.4.4

将 $e^{y} (1 - x) = x + 1$ 中的每一项除以 $1 - x$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $e^{y} (1 - x) = x + 1$ 中的每一项都除以 $1 - x$ 。

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $e^{y}$ 除以 $1$ 。

$e^{y} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

在公分母上合并分子。

$e^{y} = \frac{x + 1}{1 - x}$

解题步骤 3.4.5

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

解题步骤 3.4.6

展开左边。

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解题步骤 3.4.6.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

解题步骤 3.4.6.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

解题步骤 3.4.6.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ 是否为 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + 1}{1 - (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

解题步骤 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e^{x} + 1$ .

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解题步骤 5.2.3.1

将 $\frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}}$ 乘以 $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1}$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}})$

解题步骤 5.2.3.2

合并。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1)}{(e^{x} + 1) (1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

解题步骤 5.2.4

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

解题步骤 5.2.5

通过相约进行化简。

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解题步骤 5.2.5.1

约去 $e^{x} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.1.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

解题步骤 5.2.5.1.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

解题步骤 5.2.5.2

约去 $e^{x} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

将 $- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 中前置负号移到分子中。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

解题步骤 5.2.5.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

解题步骤 5.2.5.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

解题步骤 5.2.6

化简分子。

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解题步骤 5.2.6.1

将 $e^{x} + 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + e^{x} + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

解题步骤 5.2.6.2

将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} - 1 + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

解题步骤 5.2.6.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} + 0}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

解题步骤 5.2.6.4

将 $2 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

解题步骤 5.2.7

化简分母。

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解题步骤 5.2.7.1

将 $e^{x} + 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - (e^{x} - 1)})$

解题步骤 5.2.7.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

解题步骤 5.2.7.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

解题步骤 5.2.7.4

从 $e^{x}$ 中减去 $e^{x}$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{0 + 1 + 1})$

解题步骤 5.2.7.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 + 1})$

解题步骤 5.2.7.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

解题步骤 5.2.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

解题步骤 5.2.8.2

用 $e^{x}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (e^{x})$

解题步骤 5.2.9

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \ln (e)$

解题步骤 5.2.10

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \cdot 1$

解题步骤 5.2.11

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x}))$ 。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

解题步骤 5.3.3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - x}{1 - x}$ 。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

解题步骤 5.3.3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{1 - x}{1 - x}$ 。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

解题步骤 5.3.3.4

在公分母上合并分子。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

解题步骤 5.3.3.5

重新排序项。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

解题步骤 5.3.3.6

以因式分解的形式重写 $\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}$ 。

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解题步骤 5.3.3.6.1

运用分配律。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 \cdot 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

解题步骤 5.3.3.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

解题步骤 5.3.3.6.3

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 5.3.3.6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + 1 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

解题步骤 5.3.3.6.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

解题步骤 5.3.3.6.4

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

解题步骤 5.3.3.6.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

解题步骤 5.3.3.6.6

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

解题步骤 5.3.4

化简分母。

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解题步骤 5.3.4.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{1 - x}{1 - x}}$

解题步骤 5.3.4.3

在公分母上合并分子。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1 + 1 - x}{1 - x}}$

解题步骤 5.3.4.4

重新排序项。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.5

以因式分解的形式重写 $\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}$ 。

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解题步骤 5.3.4.5.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{- x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.5.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{1 + 1}{- x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.5.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{2}{- x + 1}}$

解题步骤 5.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

解题步骤 5.3.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 (x)}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

解题步骤 5.3.6.2

约去公因数。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

解题步骤 5.3.6.3

重写表达式。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x}{- x + 1} \cdot (- x + 1)$

解题步骤 5.3.7

将 $\frac{x}{- x + 1}$ 乘以 $- x + 1$ 。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

解题步骤 5.3.8

约去 $- x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.8.1

约去公因数。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

解题步骤 5.3.8.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ 为 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

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