微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ 写为等式。

$y = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} = x$ 。

$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} = x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{4} - \frac{1}{2} = x$

解题步骤 3.3

在等式两边都加上 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{y}{4} = x + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4

等式两边同时乘以 $4$ 。

$4 \frac{y}{4} = 4 (x + \frac{1}{2})$

解题步骤 3.5

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.1.1

约去公因数。

$4 \frac{y}{4} = 4 (x + \frac{1}{2})$

解题步骤 3.5.1.1.2

重写表达式。

$y = 4 (x + \frac{1}{2})$

解题步骤 3.5.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.1

化简 $4 (x + \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1

运用分配律。

$y = 4 x + 4 (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.5.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = 4 x + 2 (2) \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5.2.1.2.2

约去公因数。

$y = 4 x + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5.2.1.2.3

重写表达式。

$y = 4 x + 2$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4 x + 2$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 4 x + 2$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 2$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) + 2$

解题步骤 5.2.3.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

解题步骤 5.2.3.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

解题步骤 5.2.3.3.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

解题步骤 5.2.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 4 (\frac{- 1}{2}) + 2$

解题步骤 5.2.3.4.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 (2) (\frac{- 1}{2}) + 2$

解题步骤 5.2.3.4.3

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2})) + 2$

解题步骤 5.2.3.4.4

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot - 1 + 2$

解题步骤 5.2.3.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x - 2 + 2$

解题步骤 5.2.4

合并 $x - 2 + 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (4 x + 2)$ 。

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x + 2) - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

运用分配律。

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x)) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.3.2.2

约去公因数。

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.3.2.3

重写表达式。

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.3.3.2

约去公因数。

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.3.3.3

重写表达式。

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

在公分母上合并分子。

$f (4 x + 2) = x + \frac{1 - 1}{2}$

解题步骤 5.3.4.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (4 x + 2) = x + \frac{0}{2}$

解题步骤 5.3.4.3

用 $0$ 除以 $2$ 。

$f (4 x + 2) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.4

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (4 x + 2) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 4 x + 2$ 为 $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 4 x + 2$

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