微积分学示例

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ 写为等式。

$y = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ 。

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

解题步骤 3.2

两边同时乘以 $1 + 2 e^{y}$ 。

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

约去 $1 + 2 e^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

解题步骤 3.3.1.1.2

重写表达式。

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 $x (1 + 2 e^{y})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

运用分配律。

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $2 x e^{y}$ 。

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

解题步骤 3.4.2

从 $e^{y} - 2 x e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

乘以 $1$ 。

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

解题步骤 3.4.2.2

从 $- 2 x e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

解题步骤 3.4.2.3

从 $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

解题步骤 3.4.3

将 $e^{y} (1 - 2 x) = x$ 中的每一项除以 $1 - 2 x$ 并化简。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $e^{y} (1 - 2 x) = x$ 中的每一项都除以 $1 - 2 x$ 。

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

解题步骤 3.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.3.2.1

约去 $1 - 2 x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

解题步骤 3.4.3.2.1.2

用 $e^{y}$ 除以 $1$ 。

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

解题步骤 3.4.4

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

解题步骤 3.4.5

展开左边。

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解题步骤 3.4.5.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

解题步骤 3.4.5.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

解题步骤 3.4.5.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ 是否为 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}})$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

解题步骤 5.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

解题步骤 5.2.4

化简分母。

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解题步骤 5.2.4.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

解题步骤 5.2.4.2

将负号移到分数的前面。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{(2) e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

解题步骤 5.2.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}} - \frac{2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

解题步骤 5.2.4.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x} - 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

解题步骤 5.2.4.5

重新排序项。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}})$

解题步骤 5.2.4.6

以因式分解的形式重写 $\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ 。

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解题步骤 5.2.4.6.1

从 $2 e^{x}$ 中减去 $2 e^{x}$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 e^{x} + 1}})$

解题步骤 5.2.4.6.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e^{x} + 1}})$

解题步骤 5.2.5

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (1 (2 e^{x} + 1)))$

解题步骤 5.2.6

将 $2 e^{x} + 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (2 e^{x} + 1))$

解题步骤 5.2.7

将 $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ 乘以 $2 e^{x} + 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{1 + 2 e^{x}})$

解题步骤 5.2.8

约去 $2 e^{x} + 1$ 和 $1 + 2 e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.1

重新排序项。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

解题步骤 5.2.8.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

解题步骤 5.2.8.3

用 $e^{x}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (e^{x})$

解题步骤 5.2.9

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \ln (e)$

解题步骤 5.2.10

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \cdot 1$

解题步骤 5.2.11

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x}))$ 。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

解题步骤 5.3.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

解题步骤 5.3.4

化简分母。

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解题步骤 5.3.4.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 (\frac{x}{1 - 2 x})}$

解题步骤 5.3.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{x}{1 - 2 x}$ 。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.4.4

在公分母上合并分子。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.4.5

以因式分解的形式重写 $\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}$ 。

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解题步骤 5.3.4.5.1

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 + 0}{1 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.4.5.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1}{1 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

解题步骤 5.3.6

约去 $1 - 2 x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

约去公因数。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

解题步骤 5.3.6.2

重写表达式。

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ 为 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

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