微积分学示例

$f (x) = \arctan (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \arctan (x)$ 写为等式。

$y = \arctan (x)$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \arctan (y)$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\arctan (y) = x$ 。

$\arctan (y) = x$

解题步骤 3.2

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (x)$

解题步骤 3.3

去掉圆括号。

$y = \tan (x)$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \tan (x)$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \tan (x)$ 是否为 $f (x) = \arctan (x)$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\arctan (x))$ 。

$f^{- 1} (\arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

解题步骤 5.2.3

正切和余切互为反函数。

$f^{- 1} (\arctan (x)) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\tan (x))$ 。

$f (\tan (x)) = \arctan (\tan (x))$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \tan (x)$ 为 $f (x) = \arctan (x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \tan (x)$

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