微积分学示例

$f (x) = e^{- 8 x}$

解题步骤 1

将 $f (x) = e^{- 8 x}$ 写为等式。

$y = e^{- 8 x}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = e^{- 8 y}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将方程重写为 $e^{- 8 y} = x$ 。

$e^{- 8 y} = x$

解题步骤 3.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- 8 y}) = \ln (x)$

解题步骤 3.3

展开左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

通过将 $- 8 y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- 8 y})$ 。

$- 8 y \ln (e) = \ln (x)$

解题步骤 3.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- 8 y \cdot 1 = \ln (x)$

解题步骤 3.3.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$- 8 y = \ln (x)$

解题步骤 3.4

将 $- 8 y = \ln (x)$ 中的每一项除以 $- 8$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

将 $- 8 y = \ln (x)$ 中的每一项都除以 $- 8$ 。

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

约去 $- 8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

解题步骤 3.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x)}{- 8}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{\ln (x)}{8}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ 是否为 $f (x) = e^{- 8 x}$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (e^{- 8 x})$ 。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{\ln (e^{- 8 x})}{8}$

解题步骤 5.2.3

通过将 $- 8 x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- 8 x})$ 。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- 8 x \ln (e)}{8}$

解题步骤 5.2.4

约去 $- 8$ 和 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.1

从 $- 8 x \ln (e)$ 中分解出因数 $8$ 。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8}$

解题步骤 5.2.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 (1)}$

解题步骤 5.2.4.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.4.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- x \ln (e)}{1}$

解题步骤 5.2.4.2.4

用 $- x \ln (e)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \ln (e))$

解题步骤 5.2.5

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \cdot 1)$

解题步骤 5.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{\ln (x)}{8})$ 。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 (- \frac{\ln (x)}{8})}$

解题步骤 5.3.3

约去 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

将 $- \frac{\ln (x)}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 \frac{- \ln (x)}{8}}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 (- 1) (\frac{- \ln (x)}{8})}$

解题步骤 5.3.3.3

约去公因数。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 \cdot (- 1 \frac{- \ln (x)}{8})}$

解题步骤 5.3.3.4

重写表达式。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 1 (- \ln (x))}$

解题步骤 5.3.4

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{1 \ln (x)}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{\ln (x)}$

解题步骤 5.3.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ 为 $f (x) = e^{- 8 x}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$

微积分学 示例

微积分学示例