微积分学示例

$f (x) = x^{2} - 2 x + 5$

解题步骤 1

将 $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ 写为等式。

$y = x^{2} - 2 x + 5$

解题步骤 2

交换变量。

$x = y^{2} - 2 y + 5$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $y^{2} - 2 y + 5 = x$ 。

$y^{2} - 2 y + 5 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$y^{2} - 2 y + 5 - x = 0$

解题步骤 3.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.4

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 5 - x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.3

运用分配律。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.4

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.6

从 $4$ 中减去 $20$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.7

从 $- 16 + 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.5.1.7.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.7.2

从 $4 \cdot - 4 + 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.8

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$

解题步骤 3.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$ 。

$y = 1 \pm \sqrt{- 4 + x}$

解题步骤 3.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.3

运用分配律。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.6

从 $4$ 中减去 $20$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.7

从 $- 16 + 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.6.1.7.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.7.2

从 $4 \cdot - 4 + 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.8

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$

解题步骤 3.6.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$ 。

$y = 1 \pm \sqrt{- 4 + x}$

解题步骤 3.6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = 1 + \sqrt{- 4 + x}$

解题步骤 3.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.7.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.3

运用分配律。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.4

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.6

从 $4$ 中减去 $20$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.7

从 $- 16 + 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.7.1.7.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.7.2

从 $4 \cdot - 4 + 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.8

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$

解题步骤 3.7.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$ 。

$y = 1 \pm \sqrt{- 4 + x}$

解题步骤 3.7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = 1 - \sqrt{- 4 + x}$

解题步骤 3.8

最终答案为两个解的组合。

$y = 1 + \sqrt{- 4 + x}$

$y = 1 - \sqrt{- 4 + x}$

$y = 1 + \sqrt{- 4 + x}$

$y = 1 - \sqrt{- 4 + x}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$ 是否为 $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ 和 $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[4, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $1 + \sqrt{- 4 + x}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{- 4 + x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- 4 + x \geq 0$

解题步骤 5.3.2

在不等式两边同时加上 $4$ 。

$x \geq 4$

解题步骤 5.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[4, \infty)$

解题步骤 5.4

求 $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.5

由于 $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$ 的定义域为 $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$ 的值域又为 $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$ 为 $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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