微积分学示例

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

解题步骤 1

将 $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ 写为等式。

$y = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 3 e^{\frac{1}{3} y + 1}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ 。

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$

解题步骤 3.2

将 $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $e^{\frac{1}{3} y + 1}$ 除以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{3} y + 1} = \frac{x}{3}$

解题步骤 3.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y$ 。

$e^{\frac{y}{3} + 1} = \frac{x}{3}$

解题步骤 3.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{\frac{y}{3} + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

解题步骤 3.4

展开左边。

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解题步骤 3.4.1

通过将 $\frac{y}{3} + 1$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{\frac{y}{3} + 1})$ 。

$(\frac{y}{3} + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

解题步骤 3.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(\frac{y}{3} + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

解题步骤 3.4.3

将 $\frac{y}{3} + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y}{3} + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

解题步骤 3.5

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\frac{y}{3} = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

解题步骤 3.6

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

解题步骤 3.7

化简方程的两边。

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解题步骤 3.7.1

化简左边。

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解题步骤 3.7.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.1.1.1

约去公因数。

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

解题步骤 3.7.1.1.2

重写表达式。

$y = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

解题步骤 3.7.2

化简右边。

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解题步骤 3.7.2.1

化简 $3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$ 。

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解题步骤 3.7.2.1.1

运用分配律。

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 1$

解题步骤 3.7.2.1.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ 是否为 $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1})$ 。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1

约去公因数。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

解题步骤 5.2.3.1.2

用 $e^{\frac{1}{3} x + 1}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (e^{\frac{1}{3} x + 1}) - 3$

解题步骤 5.2.3.2

使用对数规则把 $\frac{1}{3} x + 1$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{1}{3} x + 1) \ln (e)) - 3$

解题步骤 5.2.3.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \ln (e)) - 3$

解题步骤 5.2.3.4

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \cdot 1) - 3$

解题步骤 5.2.3.5

将 $\frac{x}{3} + 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3} + 1) - 3$

解题步骤 5.2.3.6

运用分配律。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

解题步骤 5.2.3.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.7.1

约去公因数。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

解题步骤 5.2.3.7.2

重写表达式。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 \cdot 1 - 3$

解题步骤 5.2.3.8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 - 3$

解题步骤 5.2.4

合并 $x + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3)$ 。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) + 1}$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (\frac{x}{3})$ 。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(\frac{x}{3})}^{3}) - 3) + 1}$

解题步骤 5.3.3.1.2

对 $\frac{x}{3}$ 运用乘积法则。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{3^{3}}) - 3) + 1}$

解题步骤 5.3.3.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{27}) - 3) + 1}$

解题步骤 5.3.3.2

运用分配律。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x^{3}}{27}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 5.3.3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{3} \ln (\frac{x^{3}}{27})$ 。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 5.3.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.4.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1)) + 1}$

解题步骤 5.3.3.4.2

约去公因数。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1) + 1}$

解题步骤 5.3.3.4.3

重写表达式。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) - 1 + 1}$

解题步骤 5.3.3.5

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.5.1

对 $\frac{x^{3}}{27}$ 运用乘积法则。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

解题步骤 5.3.3.5.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.5.2.1

将 ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.3.5.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

解题步骤 5.3.3.5.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.2.1.2.1

约去公因数。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

解题步骤 5.3.3.5.2.1.2.2

重写表达式。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

解题步骤 5.3.3.5.2.2

化简。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

解题步骤 5.3.3.5.3

化简分母。

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解题步骤 5.3.3.5.3.1

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

解题步骤 5.3.3.5.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

解题步骤 5.3.3.5.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.3.3.1

约去公因数。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

解题步骤 5.3.3.5.3.3.2

重写表达式。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

解题步骤 5.3.3.5.3.4

计算指数。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

解题步骤 5.3.4

合并 $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $\ln (\frac{x}{3})$ 和 $0$ 相加。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

解题步骤 5.3.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

解题步骤 5.3.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

约去公因数。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

解题步骤 5.3.6.2

重写表达式。

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ 为 $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

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