微积分学示例

$f (x) = \frac{3}{2} x + 3$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{3}{2} x + 3$ 写为等式。

$y = \frac{3}{2} x + 3$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{3}{2} y + 3$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{3}{2} y + 3 = x$ 。

$\frac{3}{2} y + 3 = x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $y$ 。

$\frac{3 y}{2} + 3 = x$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $3$ 。

$\frac{3 y}{2} = x - 3$

解题步骤 3.4

等式两边同时乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (x - 3)$

解题步骤 3.5

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.1.1

化简 $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (x - 3)$

解题步骤 3.5.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (x - 3)$

解题步骤 3.5.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.1.2.1

从 $3 y$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{2}{3} (x - 3)$

解题步骤 3.5.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (x - 3)$

解题步骤 3.5.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{2}{3} (x - 3)$

解题步骤 3.5.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.1

化简 $\frac{2}{3} (x - 3)$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1

运用分配律。

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 3$

解题步骤 3.5.2.1.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 3$

解题步骤 3.5.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.3.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 (- 1))$

解题步骤 3.5.2.1.3.2

约去公因数。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

解题步骤 3.5.2.1.3.3

重写表达式。

$y = \frac{2 x}{3} + 2 \cdot - 1$

解题步骤 3.5.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{2 x}{3} - 2$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$ 是否为 $f (x) = \frac{3}{2} x + 3$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3)$ 。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{3}{2} x + 3)}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x$ 。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{3 x}{2} + 3)}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3.1.2

从 $\frac{3 x}{2} + 3$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

从 $\frac{3 x}{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (3 (\frac{x}{2}) + 3)}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (3 (\frac{x}{2}) + 3 (1))}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3.1.2.3

从 $3 \frac{x}{2} + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (3 (\frac{x}{2} + 1))}{3} - 2$

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 \cdot (3 (\frac{x}{2} + 1))}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{6 (\frac{x}{2} + 1)}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3.1.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{6 (\frac{x}{2} + \frac{2}{2})}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3.1.5

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{6 (\frac{x + 2}{2})}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3.2

组合 $6$ 和 $\frac{x + 2}{2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{6 (x + 2)}{2}}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{6 (x + 2)}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.1.1

从 $6 (x + 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{2 (3 (x + 2))}{2}}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3.3.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{2 (3 (x + 2))}{2 (1)}}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3.3.1.3

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{2 (3 (x + 2))}{2 \cdot 1}}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3.3.1.4

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{3 (x + 2)}{1}}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3.3.2

用 $3 (x + 2)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3.4.2

用 $x + 2$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = x + 2 - 2$

解题步骤 5.2.4

合并 $x + 2 - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{2 x}{3} - 2)$ 。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2 x}{3} - 2) + 3$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

运用分配律。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去公因数。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

解题步骤 5.3.3.2.2

重写表达式。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

解题步骤 5.3.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

解题步骤 5.3.3.3.2

约去公因数。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

解题步骤 5.3.3.3.3

重写表达式。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

解题步骤 5.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.4.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

解题步骤 5.3.3.4.2

约去公因数。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

解题步骤 5.3.3.4.3

重写表达式。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + 3 \cdot - 1 + 3$

解题步骤 5.3.3.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x - 3 + 3$

解题步骤 5.3.4

合并 $x - 3 + 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$ 为 $f (x) = \frac{3}{2} x + 3$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$

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