微积分学示例

$f (x) = e^{2 x} + 1$

解题步骤 1

将 $f (x) = e^{2 x} + 1$ 写为等式。

$y = e^{2 x} + 1$

解题步骤 2

交换变量。

$x = e^{2 y} + 1$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $e^{2 y} + 1 = x$ 。

$e^{2 y} + 1 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$e^{2 y} = x - 1$

解题步骤 3.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x - 1)$

解题步骤 3.4

展开左边。

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解题步骤 3.4.1

通过将 $2 y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{2 y})$ 。

$2 y \ln (e) = \ln (x - 1)$

解题步骤 3.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$2 y \cdot 1 = \ln (x - 1)$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 y = \ln (x - 1)$

解题步骤 3.5

将 $2 y = \ln (x - 1)$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $2 y = \ln (x - 1)$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

解题步骤 3.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ 是否为 $f (x) = e^{2 x} + 1$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (e^{2 x} + 1)$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \frac{\ln ((e^{2 x} + 1) - 1)}{2}$

解题步骤 5.2.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 1 - 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.4

合并 $e^{2 x} + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.4.2

将 $e^{2 x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2.5

将 ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

解题步骤 5.2.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

解题步骤 5.2.5.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

解题步骤 5.2.5.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

解题步骤 5.2.6

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

解题步骤 5.2.7

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

解题步骤 5.2.8

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (x - 1)}{2})$ 。

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去公因数。

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

解题步骤 5.3.3.1.2

重写表达式。

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{\ln (x - 1)} + 1$

解题步骤 5.3.3.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x - 1 + 1$

解题步骤 5.3.4

合并 $x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ 为 $f (x) = e^{2 x} + 1$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

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