微积分学示例

$f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$

解题步骤 1

将 $f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$ 写为等式。

$y = - \frac{2}{3} x + 6$

解题步骤 2

交换变量。

$x = - \frac{2}{3} y + 6$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $- \frac{2}{3} y + 6 = x$ 。

$- \frac{2}{3} y + 6 = x$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $y$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$- \frac{y \cdot 2}{3} + 6 = x$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$- \frac{2 y}{3} + 6 = x$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $6$ 。

$- \frac{2 y}{3} = x - 6$

解题步骤 3.4

等式两边同时乘以 $- \frac{3}{2}$ 。

$- \frac{3}{2} (- \frac{2 y}{3}) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

解题步骤 3.5

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.1.1

化简 $- \frac{3}{2} (- \frac{2 y}{3})$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.1.1.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 3}{2} (- \frac{2 y}{3}) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

解题步骤 3.5.1.1.1.2

将 $- \frac{2 y}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - 6)$

解题步骤 3.5.1.1.1.3

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - 6)$

解题步骤 3.5.1.1.1.4

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - 6)$

解题步骤 3.5.1.1.1.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{2} (- 2 y) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

解题步骤 3.5.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.1.2.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 1}{2} (2 (- y)) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

解题步骤 3.5.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{2} (2 (- y)) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

解题步骤 3.5.1.1.2.3

重写表达式。

$- - y = - \frac{3}{2} (x - 6)$

解题步骤 3.5.1.1.3

乘。

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解题步骤 3.5.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y = - \frac{3}{2} (x - 6)$

解题步骤 3.5.1.1.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = - \frac{3}{2} (x - 6)$

解题步骤 3.5.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.1

化简 $- \frac{3}{2} (x - 6)$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1

化简项。

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解题步骤 3.5.2.1.1.1

运用分配律。

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 6$

解题步骤 3.5.2.1.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 6$

解题步骤 3.5.2.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1.3.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 6$

解题步骤 3.5.2.1.1.3.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 3))$

解题步骤 3.5.2.1.1.3.3

约去公因数。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 3)$

解题步骤 3.5.2.1.1.3.4

重写表达式。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 3$

解题步骤 3.5.2.1.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 9$

解题步骤 3.5.2.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{3 x}{2} + 9$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$ 是否为 $f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6)$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (- \frac{2}{3} x + 6)}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (- \frac{x \cdot 2}{3} + 6)}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (- \frac{2 \cdot x}{3} + 6)}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.1.3

从 $- \frac{2 x}{3} + 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.3.1

从 $- \frac{2 x}{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (2 (- \frac{x}{3}) + 6)}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.1.3.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (2 (- \frac{x}{3}) + 2 (3))}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.1.3.3

从 $2 (- \frac{x}{3}) + 2 (3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (2 (- \frac{x}{3} + 3))}{2} + 9$

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 \cdot (2 (- \frac{x}{3} + 3))}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.1.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (- \frac{x}{3} + 3)}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.1.5

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (- \frac{x}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3})}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.1.6

组合 $3$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (- \frac{x}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3})}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.1.7

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (\frac{- x + 3 \cdot 3}{3})}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.1.8

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (\frac{- x + 9}{3})}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.2

组合 $6$ 和 $\frac{- x + 9}{3}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{6 (- x + 9)}{3}}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{6 (- x + 9)}{3}$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.1.1

从 $6 (- x + 9)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 9))}{3}}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.3.1.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 9))}{3 (1)}}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.3.1.3

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 9))}{3 \cdot 1}}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.3.1.4

重写表达式。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{2 (- x + 9)}{1}}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.3.2

用 $2 (- x + 9)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{2 (- x + 9)}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{2 (- x + 9)}{2} + 9$

解题步骤 5.2.3.4.2

用 $- x + 9$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - (- x + 9) + 9$

解题步骤 5.2.3.5

运用分配律。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x - 1 \cdot 9 + 9$

解题步骤 5.2.3.6

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 5.2.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = 1 x - 1 \cdot 9 + 9$

解题步骤 5.2.3.6.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x - 1 \cdot 9 + 9$

解题步骤 5.2.3.7

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x - 9 + 9$

解题步骤 5.2.4

合并 $x - 9 + 9$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 9$ 和 $9$ 相加。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{3 x}{2} + 9)$ 。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{3 x}{2} + 9) + 6$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

运用分配律。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

将 $- \frac{2}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 2}{3} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

解题步骤 5.3.3.2.2

将 $- \frac{3 x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

解题步骤 5.3.3.2.3

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

解题步骤 5.3.3.2.4

约去公因数。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

解题步骤 5.3.3.2.5

重写表达式。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (- 3 x) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

解题步骤 5.3.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

解题步骤 5.3.3.3.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

解题步骤 5.3.3.3.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = - 1 (- x) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

解题步骤 5.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = 1 x - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

解题步骤 5.3.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

解题步骤 5.3.3.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.6.1

将 $- \frac{2}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + \frac{- 2}{3} \cdot 9 + 6$

解题步骤 5.3.3.6.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + \frac{- 2}{3} \cdot (3 (3)) + 6$

解题步骤 5.3.3.6.3

约去公因数。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot 3) + 6$

解题步骤 5.3.3.6.4

重写表达式。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x - 2 \cdot 3 + 6$

解题步骤 5.3.3.7

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x - 6 + 6$

解题步骤 5.3.4

合并 $x - 6 + 6$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$ 为 $f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$

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