微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 写为等式。

$y = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$ 。

$\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$

解题步骤 3.2

化简 $\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$ 。

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解题步骤 3.2.1

要将 $- 20$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3} = x$

解题步骤 3.2.2

组合 $- 20$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} = x$

解题步骤 3.2.3

在公分母上合并分子。

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 20 \cdot 3}{3} = x$

解题步骤 3.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $- 20$ 乘以 $3$ 。

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 60}{3} = x$

解题步骤 3.2.4.2

从 $1$ 中减去 $60$ 。

$2 y^{2} - 12 y + \frac{- 59}{3} = x$

解题步骤 3.2.5

将负号移到分数的前面。

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} = x$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $x$ 。

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} - x = 0$

解题步骤 3.4

全部乘以最小公分母 $3$ ，然后化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$3 (2 y^{2}) + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

解题步骤 3.4.2

化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 y^{2} + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

解题步骤 3.4.2.2

将 $- 12$ 乘以 $3$ 。

$6 y^{2} - 36 y + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

解题步骤 3.4.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.3.1

将 $- \frac{59}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

解题步骤 3.4.2.3.2

约去公因数。

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

解题步骤 3.4.2.3.3

重写表达式。

$6 y^{2} - 36 y - 59 + 3 (- x) = 0$

解题步骤 3.4.2.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$6 y^{2} - 36 y - 59 - 3 x = 0$

解题步骤 3.4.3

移动 $- 59$ 。

$6 y^{2} - 36 y - 3 x - 59 = 0$

解题步骤 3.4.4

移动 $- 36 y$ 。

$6 y^{2} - 3 x - 36 y - 59 = 0$

解题步骤 3.5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.6

将 $a = 6$ 、 $b = - 36$ 和 $c = - 3 x - 59$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (- 3 x - 59))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.7.1.1

对 $- 36$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.7.1.3

运用分配律。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.7.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 24$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.7.1.5

将 $- 24$ 乘以 $- 59$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.7.1.6

将 $1296$ 和 $1416$ 相加。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.7.1.7

从 $72 x + 2712$ 中分解出因数 $24$ 。

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解题步骤 3.7.1.7.1

从 $72 x$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.7.1.7.2

从 $2712$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.7.1.7.3

从 $24 (3 x) + 24 (113)$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.7.1.8

将 $24 (3 x + 113)$ 重写为 $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ 。

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解题步骤 3.7.1.8.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.7.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.7.1.8.3

添加圆括号。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.7.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

解题步骤 3.7.3

化简 $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ 。

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

解题步骤 3.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.8.1

化简分子。

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解题步骤 3.8.1.1

对 $- 36$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.8.1.2

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.8.1.3

运用分配律。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.8.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 24$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.8.1.5

将 $- 24$ 乘以 $- 59$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.8.1.6

将 $1296$ 和 $1416$ 相加。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.8.1.7

从 $72 x + 2712$ 中分解出因数 $24$ 。

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解题步骤 3.8.1.7.1

从 $72 x$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.8.1.7.2

从 $2712$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.8.1.7.3

从 $24 (3 x) + 24 (113)$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.8.1.8

将 $24 (3 x + 113)$ 重写为 $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ 。

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解题步骤 3.8.1.8.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.8.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.8.1.8.3

添加圆括号。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.8.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.8.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

解题步骤 3.8.3

化简 $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ 。

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

解题步骤 3.8.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

解题步骤 3.9

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.9.1

化简分子。

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解题步骤 3.9.1.1

对 $- 36$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.9.1.2

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.9.1.3

运用分配律。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.9.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 24$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.9.1.5

将 $- 24$ 乘以 $- 59$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.9.1.6

将 $1296$ 和 $1416$ 相加。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.9.1.7

从 $72 x + 2712$ 中分解出因数 $24$ 。

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解题步骤 3.9.1.7.1

从 $72 x$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.9.1.7.2

从 $2712$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.9.1.7.3

从 $24 (3 x) + 24 (113)$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.9.1.8

将 $24 (3 x + 113)$ 重写为 $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ 。

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解题步骤 3.9.1.8.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.9.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.9.1.8.3

添加圆括号。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.9.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.9.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

解题步骤 3.9.3

化简 $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ 。

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

解题步骤 3.9.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

解题步骤 3.10

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $\frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{6 (3 x + 113)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$6 (3 x + 113) \geq 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $6 (3 x + 113) \geq 0$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1.1

将 $6 (3 x + 113) \geq 0$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

解题步骤 5.3.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

解题步骤 5.3.2.1.2.1.2

用 $3 x + 113$ 除以 $1$ 。

$3 x + 113 \geq \frac{0}{6}$

解题步骤 5.3.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $6$ 。

$3 x + 113 \geq 0$

解题步骤 5.3.2.2

从不等式两边同时减去 $113$ 。

$3 x \geq - 113$

解题步骤 5.3.2.3

将 $3 x \geq - 113$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.3.1

将 $3 x \geq - 113$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

解题步骤 5.3.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

解题步骤 5.3.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{- 113}{3}$

解题步骤 5.3.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$x \geq - \frac{113}{3}$

解题步骤 5.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

解题步骤 5.4

求 $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.5

由于 $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ 的定义域为 $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ 的值域又为 $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ 为 $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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