微积分学示例

$f (x) = \sqrt[3]{3 x - 2}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt[3]{3 x - 2}$ 写为等式。

$y = \sqrt[3]{3 x - 2}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt[3]{3 y - 2}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt[3]{3 y - 2} = x$ 。

$\sqrt[3]{3 y - 2} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{3 y - 2}}^{3} = x^{3}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{3 y - 2}$ 重写成 ${(3 y - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(3 y - 2)}^{1} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简。

$3 y - 2 = x^{3}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$3 y = x^{3} + 2$

解题步骤 3.4.2

将 $3 y = x^{3} + 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $3 y = x^{3} + 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$ 是否为 $f (x) = \sqrt[3]{3 x - 2}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2})$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x - 2})}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x - 2})}^{3} + 2}{3}$

解题步骤 5.2.4

将 ${\sqrt[3]{3 x - 2}}^{3}$ 重写为 $3 x - 2$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{3 x - 2}$ 重写成 ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{({(3 x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 2}{3}$

解题步骤 5.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{(3 x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 2}{3}$

解题步骤 5.2.4.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{(3 x - 2)}^{\frac{3}{3}} + 2}{3}$

解题步骤 5.2.4.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{(3 x - 2)}^{\frac{3}{3}} + 2}{3}$

解题步骤 5.2.4.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{(3 x - 2) + 2}{3}$

解题步骤 5.2.4.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{3 x - 2 + 2}{3}$

解题步骤 5.2.5

化简项。

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解题步骤 5.2.5.1

合并 $3 x - 2 + 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.5.1.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{3 x + 0}{3}$

解题步骤 5.2.5.1.2

将 $3 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 5.2.5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 5.2.5.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3})$ 。

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) - 2}$

解题步骤 5.3.3

运用分配律。

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 2}$

解题步骤 5.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 2}$

解题步骤 5.3.4.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 3 (\frac{2}{3}) - 2}$

解题步骤 5.3.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 3 (\frac{2}{3}) - 2}$

解题步骤 5.3.5.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 2 - 2}$

解题步骤 5.3.6

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

解题步骤 5.3.6.2

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 5.3.7

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$ 为 $f (x) = \sqrt[3]{3 x - 2}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

微积分学 示例

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